Exam text content

MAT-01410 Insinöörimatematiikka A4. Tentti 19.9.2019. Antti Vuorimäki

Sallitut välineet: Ainoastaan kirjoitusvälineet. Ei laskimia eikä taulukoita!
Liitteet: Tämän kysymyspaperin kääntöpuolella on kaavakokoelma.

Vastausohje: Laskutoimitukset on perusteltava ja kaikki olennaiset välivaiheet esitet-
tävä. Käytä luonnosteluun erillistä suttupaperia, jotta varsinaisesta vastauksestasi tu-
lee siisti. Vedä vastauspapereissa "henkselit" sellaisten merkintöjen yli, joita et halua
arvosteltaviksi. Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaisen vastauspaperin yläosaan.

Arvostelu: Kukin tehtävä arvostellaan pistein 0...6. Tehtävien alakohdat (a, b, jne.)
ovat keskenään tasa-arvoisia, ellei toisin mainita. Malliratkaisut ja osallistuneiden tehtä-
väkohtaiset pisteet julkaistaan toteutuskerran Moodle-sivulla korjaamisen valmistuttua.

1. Tutkitaan zy-tason käyrää
r(t) = (9 —1,8—1).

a) Käyrä leikkaa x-akselin kolme kertaa. Mitkä ovat nämä leikkauspisteet?

b) Muodosta tangenttisuorat kaikissa kolmessa a-kohdan pisteessä antaen vastaukseksi
suorien parametriesitykset.

c) Nuo tangenttisuorat rajaavat kolmion. Mitkä ovat tämän kolmion kärkipisteet?

2. Olkoot
cos(x)

F(z,y)= | sin(y) | ja g(z,y2)=x?+7?+%.
a) Laske funktion F derivaattamatriisi. (1 p.)
b) Laske funktion g derivaattamatriisi. (1 p.)
c) Yhdistetyistä funktioista F og ja go F ainoastaan toinen voidaan muodostaa. Kum-
pi? (1 p.) Minkä vuoksi? (1 p.)
d) Laske edellä kysytyn yhdistetyn funktion derivaattamatriisi. (2 p.)

3. Etsi funktion f(z,y,2) = 1? + y? + ry — 37 +32— 2 kriittiset pisteet (2 p.) ja tutki
ovatko ne maksimi-, minimi- vai satulapisteitä (4 p.).

4. Laske

J[[(3+v dV,

missä T' on sylinteripinnan 1? + y? = 9 ja tasojen 2 = 1 ja * +2 = 5 rajoittama joukko.