Exam text content

Tampereen yliopisto, ITC
Todennäköisyyslaskenta (MTTTP4, korvaa kurssia MAT-02500)
Loppukoe 17.10.2019

Omat taulukot ja laskimet ovat kiellettyjä. Vastaukset pitää perustella.
1. Heitetään sinistä ja vihreätä noppaa ja kolikkoa, kutakin kerran.

a) Mikä perusjoukko 9 kuvaa hyvin tätä satunnaiskoetta? (Voit merkitä N =
11,2,3,4,5,6)..)

b) Satunnaismuuttuja S kuvatkoon sinisen nopan ja V vihreän nopan silmälukua,
kun taas satunnaismuuttujan X arvo on sinisen nopan silmäluku, jos kolikon-
heitosta tuli kruuna, mutta vihreän nopan silmäluku, jos kolikonheitosta tuli
klaava. Määritä PfS = X).

c) Ovatko tapahtumat [$ = X) ja (V = X) keskenään riippumattomia?

2. Todennäköisyys, että Angela on Brysselissä eräänä perjantaina on 0,5, ja todennäköisyys,
että Boris on Brysselissä samaisena perjantaina on 0,6. Todennäköisyys, että Angela
on tänä perjantaina Brysselissä sillä ehdolla, että Boriskin on Brysselissä, on 0,7.

a) Millä todennäköisyydellä molemmat, Angela ja Boris, ovat tänä perjantaina
Brysselissä?

b) Määritä todennäköisyys, että Boris on Brysselissä sillä ehdolla, että Angela on
Brysselissä.

c) Mikä on todennäköisyys, että ainakin toinen on tarkasteltavana perjantaina
Brysselissä?

[Laske laskut kahden numeron tarkkuudella]

3. —Syventävien opintojen kurssille osallistuu 12 opiskelijaa. Opiskelijat toimivat toi-
sistaan riippumattomasti, ja kunkin kohdalla todennäköisyys, että hän osallistuu
kurssikokeeseen, on 0,8. Kokeeseen saapuu N opiskelijaa.

a) Miten N on jakautunut? Määritä EN.
b) Koesalissa 10 istumapaikkaa tenttijöille. Mikä on todennäköisyys, etteivät kaik-
ki saa istumapaikkoja?

4. Jatkuvasti jakautuneella satunnaismuuttujalla X "on tiheysfunktio f: RR,

f(x) = c - maxfr — 27,0).

a) Määritä vakio c ja satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.

b) Satunnaismuuttuja X mediaani on se luku m, jolle P(X > m) = 1/2. Määritä
X:n mediaani.

 

c) Laske odotusarvo EX ja varianssi D2X.