Exam text content

MAT-60000 Matriisilaskenta (syksy 2019) / Mattila
Tentti 9.1.2020

Kokeessa ei saa käyttää laskimia tai taulukoita. Tehtäväpaperia ei tarvitse palauttaa. Tent-
titehtävien ratkaisut löytyvät aikanaan kurssin Moodle-alueelta.

2
. s. 2 . U . NN
1. (a) Osoita suoraan laskemalla, että avaruuden C? vektorit x = [ 4 ; jays|j) N

toteuttavat sekä kolmioepäyhtälön ||x + yll < ||[x]| + ||y|| että Cauchy-Schwarzin
epäyhtälön |(a, y)| < |lzel[lly|]. (3p)
(b) Matriisin A = [a;;] € C”*" jälki määritellään kaavalla

tr(A) = Yai == (44 Oa ++ agm
i=1

Osoita sopivan vastaesimerkin avulla, että seuraava väite ei ole yleisesti voimassa:

1
jos A on kääntyvä kompleksinen neliömatriisi, niin tr(A') = TO (3p)
F

2. Olkoon
2 0 1 1
A= |1-8 6 —3 ja b= |-5
4 18 4 0

(a) Etsi LU-hajotelma matriisille A. (3p)
(b) Laske det(4) ja ratkaise yhtälöryhmä Ax = b edellisessä kohdassa laskemaasi
LU-hajotelmaa apuna käyttäen. (3p)

3. (a) Osoita oikeaksi tai vääräksi: jos vektorijoukko [u, v,w) on vektoriavaruuden C3
kanta, niin tällöin myös joukko [(u+v, u+w,v+w) muodostaa kannan avaruudelle

C. (3p)
(b) Päättele seuraavien matriisien asteet sekä niiden ytimien (ts. nolla-avaruuksien)
dimensiot:

111 1085 7 MOKA SIPSI
K=|112 1/1, L=|10034 -—1]1, M= . (3p)
1 1 1 0000 6 2

2 4 6 8
4. Tarkastellaan matriisia
1 0 0
P=|3 % 0
—-6 2 1

(a) Osoita P projektorimatriisiksi ja etsi kannat niille aliavaruuksille, jolle ja jota
pitkin matriisi P projisoi. Onko P tavallinen vai ortogonaaliprojektorimatriisi?

(3p)
(b) Etsi matriisin P Jordanin kanoninen muoto J sekä sen Jordanin hajotelmassa
esiintyvä matriisi S. (3p)

1/1