Exam text content

MATH,MA., 750

Topologia, loppukoe 13.12.2017.

Osoita, että jos X on topologinen avaruus ja A € X on suljettu, niin

int(A) = int(int(A)).

Tarkastellaan avaruuden R aliavaruuksia X = [0,1[042) ja Y = [0,1]. Määritellään
funktio f: X > Y asettamalla

Pali (r jos x € [0,1],

1, jos 1 =2.
Osoita, että f on jatkuva. Onko se homeomorfismi?

Olkoon X topologinen avaruus ja U,V C X avoimia joukkoja siten, että X = UUV
ja UNV =0. Osoita, että jos AC X on yhtenäinen, niin A C U tai A C V.

Varustetaan joukko X = 11,2,3,41 topologialla
(9, X, (1), (23, (1,2), 13,4), (1,3, 43, (2,3,4))-

Tarkastellaan ositusta X = a UbUc, missä a = [1), b = 12,31 ja c = (4). Mikä on
tähän liittyvä tekijäavaruus? Luettele sen avoimet joukot.

Olkoot X; (i € T) topologisia avaruuksia. Osoita, että jos avaruus X; on Hausdorff
kaikilla i € 7, niin samoin on tuloavaruus

I[ x.

ie