Exam text content

 

MAT-01110 Insinöörimatematiikka A1 (Martti Lehto)
Tentti 19.10.2016
Ei kirjallisuutta, muistiinpanoja eikä laskinta!

1. Implikaation p > g yhteydessä sanottiin, että p on riittävä ehto g:lle ja g on
välttämätön ehto p:lle.

a) Onkox=1 (i) välttämätön ehto, (ii) riittävä ehto sille, että |x| < 2 ? Perustele!
b) Onko |[x| <2 (i) välttämätön ehto, (ii) riittävä ehto sille, että x = 1 ? Perustele!

2. a)(1 piste) Derivoi g(x) = +2x
x

b) piste) Derivoi h(x) = =
Et X
1 J
=)

0)(2 pistettä) Derivoi f(xn)=e 2 2 .
9/02 pistettä) Perustele derivaatan avulla, milloin c)-kohdan f(x) on kasvava funktio.

V3x+4 ,josx>0

3. Olkoon f(x)= ;
ax 12 > ]0sx<0

a) Onko f jatkuva kaikilla x:n arvoilla? Perustele.

b) Määrää erotusosamäärien raja-arvoja käyttäen vakiolle a sellainen arvo, että / on
derivoituva pisteessä x = 0. (Sinun on siis laskettava, millä a:n arvolla vasemman ja
oikeanpuoleinen derivaatta ovat yhtäsuuret.)

e 1 6010. n 605
1>0+ h 150- h

4. a) Etsi kompleksiluku z = x + jy , jonka reaaliosa x ja imaginaariosa y
toteuttavat yhtälön

5)
24-14 ja.
3x+ X
(Vihje: Kaksi kompleksilukua ovat yhtäsuuret, jos niiden reaaliosat keskenään ja
imaginaariosat keskenään ovat yhtäsuuret.)

; E 1 23 :
b) Esitä kompleksiluvun 72 = 2sli käänteisluku Z! summamuodossa

a+jb ja laske sitten kummankin itseisarvot eli modulit. Kumpi on suurempi?
(Vertailu onnistuu ilman laskinta.)

Kaavakokoelma kääntöpuolella!
 

ei TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

 

Insinöörimatematiikka A 1
Tentin kaavaliite

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Derivointikaavoja
f(z) (x)
a? a*hna
log, x :
Sa za
5 I
tan x 1+tan2=——
1 082 7
arcsin
vV1-27?
i
arccosz | —
vli-r
s
arctan x 13
sinh x cosh x
cosh x sinh x
o has =i==+—
cosh" x
: 4
arsinh x
1+2?
L
arcoshx
72 —1
tanh L
ar osa
2. D,)=35  W=I()
(e)
X 0 > te — sinhz
3. sinhz 1 cosh x = tanhz =
4. arsinho=In (7 + V/z?+1), arcoshz=1n (x +v22—1),

 

artanhz = jin E +7)

1-zx

sin(9 + 9) = sin 0 cos + cos sin &
cos(9 + 9) = cos cos d — sin O sin G

 

. eP=cosO+isino