Exam text content

 

 

 

 

 

 

 

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää muistiin-
panoja, kirjallisuutta eikä laskinta. KAAVOJA ON PAPERIN TOISELLA PUOLELLA

Ratkaise tehtävät 1 ja 2 omalle paperilleen ja tehtävät 3 ja 4 omalle paperilleen. Kirjoita kaikkiin
papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Lisäksi jätä etusivulle ja
marginaaleihin tilaa tarkastajan merkintöjä varten.
5 = STA.
1. (a) (4 pistettä) Laske cos s) cosh(0).
(b) (2 pistettä) Sievennä logiikan laskusääntöjä käyttäen PV 9) V (p A 0).

2. Laske raja-arvot

= 32 —x7 5 ; In(z)
Ii; z - ——.
(a) a (b) jm V4x? + 37 —2x, (c) jm 50)

 

3. (a) (2 pistettä) Mikä on arkussinin laajin mahdollinen määrittelyjoukko ja arvojoukko?

(b) (4 pistettä) Alla on todistettu, että arkussinin derivaatta muuttujan x suhteen on

 

kun |z| < 1.
Perustele todistuksen jokainen yhtäsuuruus . Käytä perusteluissasi apuna luonnollista kiel-
tä.
1 (G) 1. (56) 1 (iv) 4
Dy(sin(y)) — cos(y) V1- sin?(y) V1-22

=2
4. (a) (2 pistettä) Laske osamäärä i =

 

 

 

Dgz(arcsin(z)) 9

5 ja anna vastauksesi muodossa x + Yj.

(b) (4 pistettä) Kuvassa on erään kompleksiluvun 2 neljännet juuret. Määritä kyseinen komplek-
siluku 2 ja esitä se polaarimuodossa ja muodossa x + yj.

 

 

 

Muistathan antaa Kaiku-järjestelmän kautta palautetta saadaksesi opintosuorituksen.

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

1. Derivointikaavoja

ww

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z) (x)
05 a" Ina
log, x s
Ea tlna
arcsin x :
vV1-—z?
arccosz | — E—-
1
arctan x 1333
E
arsinh x
172
I
arcosh x
1? —1
artanh x L
ot?
[=
N
ay? (v)

. sin(0+4) = sin 0 cos 9 + cos sin 6
cos(d + 4) = cos) cos & — sin Osin p

- cosh%() — sinh?(z) = 1

. =T cos0 + 5jsing

 

(z = fly) >y= f(z)