Exam text content

 

Mercnder N
Alexendor jote: (GC ehdon tot: fi
MAT-01210 Insinöörimatematiikka A2 / Kaarakka
Tentti 1, 20.12.2016

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tehtävässä 2 riittää pelk-
kä vastaus. Tentissä ei saa käyttää muistiinpanoja, kirjallisuutta eikä laskinta. Kirjoita kaikkiin
papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Muistathan antaa pa-
lautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi opintosuorituksen. Kaavat kääntöpuolella.

Ratkaise tehtävät 1 ja 2 omalle paperilleen ja tehtävät 3 ja 4 omalle paperilleen.

2 04 1233 1
1. Tarkastellaan matriiseja A= | 2 0 5] jaB=| 0 1 0 1
0153 20 2

(a) Laske, jos mahdollista, 24B ja 3BA.
(b) Laske, jos mahdollista, A".
(c) Laske, jos mahdollista, det(A).
2. Vastaa lyhyesti (a)-(f) kohtien kysymyksiin. Jokaisen kohdan oikeasta vastauksesta saat

yhden pisteen, väärästä vastauksesta vähennetään puoli pistettä ja vastaamatta jät-
täminen on nolla pistettä. Tehtävän kokonaispistemäärä ei kuitenkaan mene negatiiviseksi.

Tarkastellaan 4 x 4-matriisia A, jolle rank(A) = 3.

(a) Onko matriisi A kääntyvä?
(b) Mikä on matriisin A sarakeavaruuden dimensio dim(R(A))?
(c) Kuinka monta ratkaisua matriisiyhtälöllä Ax = 0 on?
(d) Laske det(4B), kun B on 4 x 4-matriisi.
(e) Ovatko matriisin A sarakkeet lineaarisesti riippuvia?
(£) Onko rref(4) = 1?
3. Määritä Gaussin eliminointimenetelmää (muodosta yhtälöryhmä ja siitä kokonaismatriisi ...)
käyttäen vakiot c ja d, niin että kolme R3 tasoa ax +2y+2=0,7+y=0ja-y+cz2=d.
(a) Leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä. Esitä leikkauspiste.
(b) Leikkaavat täsmälleen yhdellä suoralla. Esitä suoran yhtälö.

(c) Eivät leikkaa missään pisteessä.

 

1 090
4. (a) Olkoon A= | 0 1 1 |. Etsi matriisin A ominaisarvot.
0-24
=. %
(b) Tarkastellaan matriisia B = 0 1 2 |, jonka eräs ominaisarvo on —1. Etsi ominai-
II

sarvoa —1 vastaava ominaisavaruus.

(c) Esitä matriisi C tulona PDP*', missä D on diagonaalimatriisi, kun matriisin C ominai-

sarvot ovat Ai = 1 ja A» = As = 2 ja ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat
dl -1 -1
Ej = span -1 ja E > = span llä; 0

1 0 1
 

10.

11.

12.

Insinöörimatematiikka 2

 

Kaavakokoelma
Ivll = Vv-v
U: v
cos(0) =
lulilivi!
er € €
UXv=|W W v
vI va W
; TV
Projy(v) = E i 3 u
n-(x—p)=0

x=p+su+tv

(AB)5 = BTAT- (ABJESB3A44, (A) = (4-1)

 

a ä J <
cd —ädetelc a

det (A) = Yl-DHaz det(A;;)
j=1

Ax = Ax, det(A == AL) = 0

V-tAv = D 9 A= yvny!

AT Ax = AThb