Exam text content

MAT-01220 Insinöörimatematiikka B2
Tentti 8.12.2014 / Kimmo Vattulainen

e Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille.
e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
o Kääntöpuolella kaavakokoelma

Lä a) Oheisessa kuvassa kolmion sivuja on merkitty vektoreina

Uu, V ja w sekä vektorien v ja w välistä kulmaa luvulla a. W u
Olkoon sivujen pituudet ||ul| = a, |Ivll =, |Iwl|l = c.

Todista vektorilaskentaa käyttäen ns. kosinilause

a =P+c< —2bccos(a) v

b) Leikkaavatko suorat ja jos leikkaavat, niin missä pisteessä ?

1 1 6 3
x = |1|+t|-1]|; xo= |1|+s/2
1 2 6 1

2. a) 100 hengen matkaseurueella on 120 matkalaukkua. Heidän on tarkoitus vuokrata autoja,
joissa on kuljetuskapasiteettia seuraavan taulukon mukaisesti

henkilöitä laukkuja hinta

 

auto A 4 5 20
auto B 2 3 10
auto C 5 2 30

Etsi kaikki sellaiset autojen lukumäärien kombinaatiot, että jokainen auto tulee täyteen ihmisiä ja
laukkuja. Muodosta lineaarinen yhtälöryhmä ja etsi sen ratkaisusta vastaus kysymykseen.
b) Esitä ja laske matriisitulon avulla, mikä a)-kohdan ratkaisuista on edullisin.

3. Etsi yksi sellainen R3:n ortonormaali kanta, jossa yksi vektoreista on vektorin u suuntainen.
Esitä vektori x näiden vektorien lineaarikombinaationa.

1 L
u= [1|, x=|'0
U 0

4. Olkoon matriisi A ja sen kaksi ominaisvektoria vi ja vo seuraavat

GE OSU) 1 -1
AS=aleet d 0 5=vi!35 Va =3|n
-5 15 -8 4 2

missä vakiot a,b,c,d € R. Ratkaise vakioiden a, b, c, d arvot. Mitkä ovat matriisin A ominaisarvot
ja muut ominaisvektorit? Onko matriisi A diagonalisoituva? Jos on, niin mitkä ovat matriisit P ja
D, jotka toteuttavat yhtälön A= PDPP”'. Matriisia P"*' ei tarvitse määrittää.

 

 
MAT-01220 Insinöörimatematiikka B2, kaavoja

 

 

 

1 Ilvll = /v-v
U-v
2. cos(0)) = ——
= Talvi
€1 ea €3
3. UxXVv=|v W v
Vv] VU VW
; u-v
4. = projy(v) = (=>) u
5. mn-(x-p)=0
6. x=Pp+su+tv
7 (AB)"= Bf (AB) * = BA (ANSIS(AS)L
=
8 a b aga! d —
: e dl! = ad-bel-c a
9. det(A) = Yl-Da det(A;;)
j=1
10. = 4Ax=1x, det(4—A7)=0
1180545 DA SSSDS!
12. Af4x=14"b