Exam text content

 

MAT-01220 Insinöörimatematiikka B2
Tentti 09.12.2013 / Kimmo Vattulainen

e Vastaa tehtävät 1-2 yhdelle konseptille ja 3-4 toiselle konseptille.
e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
e Kääntöpuolella kaavakokoelma

 

1. a) Tason P kolme pistettä ovat (1,1, 1), (0,0,3), (—1,2,3).
Määritä tason P ja tason 2x + 2y + 2 = 1 leikkaussuoran yhtälö vektorimuodossa.

b) Kahden toisiaan leikkaavan tason leikkaussuoran suuntavektori saadaan myös muodostamalla
vektori, joka on kohtisuorassa molempien tasojen normaalien kanssa. Näytä, että tämä tulos pitää
paikkansa a)-kohdassa laskemiesi tasojen ja niiden leikkaussuoran kohdalla.

2. Millä vakioiden c, d € R arvoilla yhtälöryhmällä
a) on yksikäsitteinen ratkaisu? Esitä ratkaisu.
b) on äärettömän monta ratkaisua? Esitä ratkaisu.
c) ei ole lainkaan ratkaisua?
aa a = N)

 

T+Y = 0
—y+ e = d
3. Matriisi A on
11 7
A= 433 41
2-1 £k

Millä vakion k € R arvoilla

a) matriisin A sarakkeet ovat kaikki keskenään ortogonaalisia?
b) matriisilla A on käänteismatriisi? Mikä on tällöin det(A7*)?
c) yhtälöryhmällä

0
A = |0
1

SIKSI

on yksikäsitteinen ratkaisu ja ratkaisussa y = 1?
4. a) Määritä matriisin A ominaisarvot ja ominaisavaruudet.
ÄÄ
J =
[s d

b) Määritä B = AV?. Etsi siis sellainen matriisi B, että B? = A. Käytä apunasi diagonalisoitu-
vuutta.