Exam text content

 

MAT-01310 Insinöörimatematiikka A3 / Kaarakka
Tentti 1, 1.3.2017

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää
muistiinpanoja, kirjallisuutta eikä laskinta. Kirjoita kaikkiin papereihin selkeästi nimesi, opis-
kelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Muistathan antaa palautetta Kaiku-järjestelmän kautta
saadaksesi opintosuorituksen. Kaavat kääntöpuolella.

Ratkaise tehtävät 1 ja 2 omalle paperilleen ja tehtävä 3 omalle paperilleen.

1. (a) (3 pistettä) Laske integraali

 

i TÄ
eva
/ dx
T+4
0
käyttäen sijoitusta x = u? — 4.

(b) (3 pistettä) Osoita, että sarja

= 1
Lomax

n=3

suppenee tai hajaantuu.

2. (a) (4 pistettä) Etsi potenssisarjan suppenemissäde ja suppenemisväli tai -piste

SS (-1)7! "
Jin (2 + 1)”.
n=1

(b) (2 pistettä) Laske Taylorin sarjakehitelmiä käyttäen

1=e"

im A
20 sin(z)

 

3. (a) (3 pistettä) Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

7 1
y'(x) — 57/(0) =zlnz.

(b) (3 pistettä) Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

y"(x) — 2y'(:x) + 2y(x) = x.
 

MAT-01310 Insinöörimatematiikka 3
Kaavoja 2017

 

 

 

 

 

 

 

1:

1) f 1ta)än

tan(z) — n | cos(z)| + C

cot(z) = =o In | sin(z)] + C

- 3 tan(x) + C

=o — cot(z) + C

= arcsin(z) + C

—: arctan(z) + C

a arsinh(z) + C = In (x + V22+1) + C
— arcosh(z) + C = In |x + Va21]+0

—. artanh(z) + C= 51n = |+0

 

2 s= [ VETOA A <2r | HGIVTT TON An V= | 10

3. sin(9 + /) = sin 9 cos / + cosl sin $, cos(9 + $) = cos cos 4 — sin 0 sin 4

00

4. ad", geometrinen sarja. Jos suppenee, niin S = T

k=1

ag!

—=4

 

 

 

 

 

 

 

n
N f(a) k JOE) +1 1 ; An
= f , nt R=<-1
5. fe) >» H Pat o: T= 0300 |04a
6.
1 00
— 3 2 3 = k JN
=! aa +25 + 2,7 (-1<r7<1)
. ma rt
e =1 etatat T (z € R)
k=0
. 23 25 1! = (-1F 241
sina) = + 7*+ 200 (z € R)
pot a = (-1P m
0082) 1-7 +F-G*+* = 2 py" (z € R)