Exam text content

MAT-01310 Insinöörimatematiikka A3 / Kaarakka
Tentti 2, 10.4.2017

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää
muistiinpanoja, kirjallisuutta eikä laskinta. Kirjoita kaikkiin papereihin selkeästi nimesi, opis-
kelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Muistathan antaa palautetta Kaiku-järjestelmän kautta
saadaksesi opintosuorituksen. Kaavat kääntöpuolella.

1. (a) (3 pistettä) Laske integraali

 

1
J un
0

käyttäen sijoitusta u = 1 + e”.

(b) (3 pistettä) Osoita, että sarja

 

5
< 21 +4

suppenee tai hajaantuu.

2. Muodosta funktiolle In(1 + x) viidennen asteen Taylorin polynomi P;(z), jonka kehityskeskus
on origo, ja jäännöstermi R;s(z).

3. (a) (3 pistettä) Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

1
y'(z) + 77/0) =zelnz.

(b) (3 pistettä) Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

y"(x) — 3y'(z) + 2y(x) =

 

ala (G, ren t0na W"

€
MAT-01310 Insinöörimatematiikka 3
Kaavoja 2017

O

 

00
k=1

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

A &
(
1) [stä
tan(z) — In | cos(z)] + C
1 :
cot(z) 10) In | sin(z)| + €
1
5) tan(z) + C
1
0) — cot(z) + C
NN arcsin(z) + C
1
132 arctan(z) + C
i arsinh(z) + C = In (7 + Vz?+1) + C
23 +1
- N arcosh(r) + C = In |z + Vr? — 1] +C
Z
1 1 |z2+1
T= attanh(e) + C= 5m |] +C

 

 

 

 

 

 

 

k : ; W a
a Y ag » geometrinen sarja. Jos suppenee, niin S = =
— f(a) k Ju) + 1 + | an
7 —a)' + z—a)"*, R 1
2 oe) + m Pt, E vissa
= mitata todtonn tyä
L -tni =
z? g oh
es=ltoetytytö M
=0
; s 2 2! = (1) 26+1
sin) =2-3+5 FT 20:
2? xt 25 ID m
aa a a =2 m

b b b
o=] VIETTE Ar, 4=2r | VITO dr, v=r| Ha) dz

. sin(0 + 6) = sin 0 cos & + cos Osin 9, cos(9 + 9) = cos) cos 6 — sin Osin 6

 

(-1<z<1)

(z € R)

(z € R)

(z € R)