Exam text content

 

 

Hen Vesainen

 

 

 

 

 

 

 

 

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää muistiin-
panoja, kirjallisuutta eikä laskinta.

Kaavaliite on tehtäväpaperin toisella puolella

Valitse teetkö tentin eli tehtävät 1-4 vai toisen välikokeen eli tehtävät 3 ja 4. Kirjoita va-
lintasi selkeästi vastauspaperisi alkuun. Huolehdi myös, että palautat vastauksesi oikeaan pinoon.
Kirjoita kaikkiin papereihin selkeästi nimesi ja opiskelijanumerosi. Lisäksi jätä etusivulle ja margi-
naaleihin tilaa tarkastajan merkintöjä varten.

Muistathan antaa palautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi opintosuorituksen.

1. Integroi käyttäen sijoitusta u = 1 + e
2
J Je s

2. (a) Selvitä suppeneeko vai hajaantuuko sarja
a Pan =

5 n+3
n? +2n—3'
n=2
(b) Laske integraali
: T3e" — 126" — 27e* 41
dx
1? —2x—2

3. Muodosta funktiolle x cosh(z) viidennen asteen Taylorin polynomi Ps(z), jonka kehityskeskus
on origo, ja jäännöstermi R5(z). Vinkki cosh(z) = 1 (e? +e7) ja sinh(z) = 1(e—e").

4. (a) Ratkaise alkuarvo-ongelma

dy e >
a 40, 700) = £

(b) Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

y"(x) — yle) = 267.
 

MAT-01320 Insinöörimatematiikka B3 / Kaarakka

Kaavoja kevät 2015

 

 

 

 

 

 

JE

1) | 1004

tan(z) —1n | cos(z)| + C

cot(x) = = In | sin(z)] + C

=— tan(z) + C

E — oot(a) + 0

— arcsin(z) + C

äi —. arctan(z) + C

K arsinh(z) + C = In (7 + Va2+1) + C

= arcosh(z) +0=1hn|x+v22—1]+C

3 i artauh(a) +0 = 51n kk

 

 

 

2 s= [ VTTOAn A= [ G) VIE TUP d vos roa

3. sin(9 + G) = sin 9 cos & + cos Osin G, cos(9 + G) = cosP cos g — sin Osin $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z
4. Ye, ad*, geometrinen sarja. Jos suppenee, niin S = 5
n
J (a) = 196 1 Lan a
3-16) x —a)* + a at R =1
1) = YT eie 9 Iim |
5.
! 00
= aa = k =
= % Tait 2 (-1<zx7<1)
a v
61121 2 at = E (z € R)
k=0
N a a ai — (CD 261
saa) == Gt Tt 2 GIN E”
Pn 8 EN a
cos(%)] = 1- N a = 5 = >, CR)! a (z € R)