Exam text content

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää muistiin-
panoja, kirjallisuutta eikä laskinta.

Kaavaliite on tehtäväpaperin toisella. puolella

Kirjoita kaikkiin papereihin selkeästi nimesi ja opiskelijanumerosi. Lisäksi jätä etusivulle ja margi-
naaleihin tilaa tarkastajan merkintöjä varten.
Muistathan antaa palautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi opintosuorituksen.

1. Laske epäoleellinen integraali tai näytä, että se hajaantuu

1

/ a) dz.

o

 

2. (a) Selvitä suppeneeko vai hajaantuuko sarja
»

n
Ens

n=2 -

2
; a3e" dz.

(b) Laske integraali

3. Etsi potenssisarjan
san
a v2n+1

suppenemissäde ja suppenemisväli.

4. (a) Hyttyspopulaation p = P(f) kasvu on suoraan verrannollinen populaation koon neliöjuu-
reen. Tarkastelun alussa, eli ajan hetkellä £ = 0, hyttysiä on 1 miljoona. Kahden viikon
kuluttua, ajan hetkellä t = 2, hyttysiä on 9 miljoonaa. Muodosta separoituva differenti-
aaliyhtälö, joka kuvaa tilannetta ja ratkaise se. Tämän jälkeen selvitä, milloin hyttyspo-
pulaation koko ylittää 25 miljoonaa.

(b) Ratkaise alkuarvo-ongelma

y"(x) — 2y'(x) — 35y(x) =0, — ylo) = 12, y/(0) = O.

 
 

MAT-01320 Insinöörimatematiikka B3 / Kaarakka
Kaavoja kevät 2015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JE
1) J sto)än
tan(z) — In | cos(z)] + C
+ =
cot(z) = 5 In | sin(z)] + C
1
Fa) tan(z) + O
1
70) — cot(z) + C
= arcsin(z) + C'
1
sa arctan(z) + O
= arsinh(z) + O =1n (x + V22+1) +C
2!
= a arcosh(z) + C=1n|z+v22— 1] + C
Pas
l 1 20
=== artanh(r) +0=531n = |+e

 

b : b b
= "= | V1+F(z) dx, 4=2r | |F(o)/1+ F/(x)2 de, V=" (x)? dx
3. sin(0 + $) = sin 9 cos + cos0sin g, cos(9 + 4) = cos cos p — sin Osin &
ad

4. Yios ag”, geometrinen sarja. Jos suppenee, niin S = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n
f(a) < 100 mil L iin | n
. = T 1
s 19 2 a = 0100 8 a a
5.
; o
ajaja 2 si. == k 1 J
= 1ia'xz (ed Xt (i)
z2 a3 Sak
puita (€ R)
k=0
tT 2 i elli
; =o a R
e dT = 2 pari" GW
n i = 6
esta?! =) Gy" (z € R)