Exam text content

MAT-01400 Insinöörimatematiikka X 4 / Hirvonen
Tentti 17.08.2015
Ei laskimia tai kirjallista materiaalia. Kaavakokoelma kääntöpuolella.

Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastauspaperin tulee
sisältää päättely, jolla lopputulokseen päädytään.

1. Olkoon f(z,y) = : + €" +2y, missä x (1) = Int ja y(t) =.
: - EK
(a) Laske derivaatta N ketjusäännöllä.
: of. a
(b) Laske derivaatta T ilman ketjusääntöä.
2. (a) Etsi funktion f (z,y) = 2—sin(—x — 3y) linearisointi pisteen (0, m) ympäristössä ja
approksimoi sen avulla arvoa f (—0.1,7).

(b) Näytä, että funktio g (z,y) ei ole jatkuva origossa.

=?

90,4) = an kun (x,y) 4 (0,0)
; 0, kun (z,7) = (0,0)

5 1
3. Etsi funktion f (z,y) = 27? +zy+ 4 —2x—2y+ 3 suurin ja pienin arvo neliössä, jossa
x € [0,1], y € [0,1].

4. Allaon tasointegraalien summa, jonka pystyy näpakoordinaatteja käyttämällä esittämään
pelkästään yhden tasointegraalin avulla. Esitä se yhtenä tasointegraalina ja laske tulos.

0 Py? 2 40?
] / (0 + P) dydz +/ ; (1? + P) dydz.
—2J0 0 Je

Huom. Jos ei onnistu summan esittäminen yhtenä integraalina, yritä edes esittää jom-
pikumpi integraaleista napakoordinaateissa. ja laskea tulos.

 
 

Insinöörimatematiikka X 4, kaavakokoelma

 

 

12000 + 5770) (00) + DT (.) 70)

2. T (x) = F (a) + F" (a) (< — a)

Difi(x) Dafilx) <<< Dnfi(x)
3. F'(x) = E (x) < (x) 5 = (x)
Difm (x) Dafm 6) < D (x)

4. (Fo G) (a) = F' (G (a)) G (a)
5. Def (x) = f'(x) e = Vf(x) -e
6. VI) (0 =0
g(x) =0
1 ; h(x)=0
us J3 TT
D:D:f (x) DiDof (x) -:- D:D, f(x)
TYY D Pebaf8) Da Daf (3) +n0 D2Duf (x)
0) (Kx) = a : E a

DnDif (x) D, D2f (x) << DID (x)

B rr2(0)
9. [; (7, y) dzdy = / j F (r cosO,rsin 0)r drdo
R a Jr (0)

10. [D F (x,y, 2) dzdydz = [N F (pesin & cosO, psin /sin O, pcos G) p? sin 6 dpddd0
T v

11. m [|] sav. 2= [|]. z5av, = [[[ (2? +-v)sav
12. N st.v aady = [|,3 (ecu, v)

n 20-00)

*—(u,v)
a 1 == 1
14. sin?t = a (1— cos (21)), cos?t = a (1 + cos (2£))

 

9 (x,y)
3 a drd0

 

 

15. [£ (olo) 9 (0) dx = (0 (2) +6
J 7) 0)ae=110)9(0) — [1(0)9 (0)an

f(x)
f(x)

 

dx =1n|f(z)| +C