Exam text content

MAT-01400 Insinöörimatematiikka X 4 / Hirvonen
Tentti 22.08.2016
Ei laskimia tai kirjallista materiaalia. Kaavakokoelma kääntöpuolella.

Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastauspaperin tulee
sisältää päättely, jolla lopputulokseen päädytään.

1. Käyrän C parametrisointi on r (1) = (1? — 46 43,19 — 121), t € [5,5].

(a) Onko käyrä € sileä koko määrittelyjoukossaan?
(b) Etsi kaikki pisteet (x,y), joissa käyrällä C' on vaakasuora tangenttisuora.
(e) Esitä funktion f (x,y) = +/x + 2y + 1 kuvaajalle (pinnalle) piirretyn tangenttitason

yhtälö siinä pisteessä, jossa (x,y) = r (4).

2. (a) Tarkastellaan funktiota f (x,y), jonka muuttujat x ja y riippuvat suureista r ja 6,
ts. 2=g(r,0) ja y=h(r,0). Tiedetään, että g (1,7) = —1 ja h (1,7) = 1. Lisäksi

a ennon X (5) Zeinoa L(u2)-s

27 (15) 6 5 (15) =7 37 (15)=8. 57 (15)=9
Laske = (1.5) ja 3 (1. 3)-

(b) Selvitä funktion f(z,y,z) = z21n(z? + 3?) määrittelyjoukko ja laske kaikki toiset
osittaisderivaatat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Etsi funktion f (x,y) = 2? —4y—3x + 1 suurin ja pienin arvo suljetussa joukossa, jonka
rajaavat koordinaattiakselit ja käyrä y = (x — 1)?.

4. Kuulan x? + y? + 2? < 4 läpi porataan reikä, jonka reuna on sylinterin x? + y? = 1
muotoinen. Laske reiällisen kuulan tilavuus avaruusintegraalina.