Exam text content

MAT-01400 Insinöörimatematiikka X 4 / Hirvonen
Tentti 22.08.2016, ratkaisut

1. Käyrän O parametrisointi on r (1) = (1? — 44 +3,t3 — 124), t € [5,5].

(a) Onko käyrä C sileä koko määrittelyjoukossaan?
Ratkaisu. Käyrä on sileä, jos sen parametrisoinnin derivaatta on jatkuva ja nollasta

eroava.
r' (1) = (26 — 4,31? — 12)

on jatkuva, koska sen komponenttifunktiot ovat jatkuvia polynomeina. Derivaatta
on nollavektori, kun

x'(t) =0 2t—4=0 t=2
> >
y(t) =0 3 —12=0 (=4

jotka ovat yhtä aikaa voimassa, kun t = 2. Koska 2 € [5,5], käyrä C ei ole sileä

P

 

koko määrittelyjoukossa.

(b) Etsi kaikki pisteet (t,y), joissa käyrällä C on vaakasuora tangenttisuora.
Ratkaisu. Tangentti on vaakasuora, kun y'(t) = 0 ja x/(t) % 0. Kohdassa (a)
lasketun perusteella tangentti on vaakasuora vain käyrän pisteessä r (2) = (15,4).

(c) Esitä funktion f (x,y) = x/z+2y+1 kuvaajalle (pinnalle) piirretyn tangenttita-
son yhtälö siinä pisteessä, jossa (1, 7) = r (4).

Ratkaisu. Yhtälöä haetaan pisteessä r (4) = (3, 16). Lasketaan funktion ja osit-
taisderivaattojen arvot tässä pisteessä.

f (3,16) = 2/3+32+1=2V36=2-6=12

Of 1 3x + 4y + 2
x, Ve+2y0+1+x ;
Da 09) " 9 "5 T+2+1 2/2+2y/+1

 

 

 

 

 

 

 

Of 3.16, IHS1+2 0 D

Or 2/3432+1 2:6 4*

of 1 x
(2,y) =1,——-2 ;

Oy N/T+24+1 VTx+2y+1

Of 6

— (3,16) = —=1

dy | ) vV36

(Huom. Kaavakokoelman kaava 1 on linearisoinnin kaava, jolla approksimoidaan
funktion arvoa tangenttitasolla saatavalla arvolla.) Tangenttitason yhtälö on

 

N 25 7-3 |. 25 M -
2=12+[2 11[ 2] -2+ Bo 2) + (y — 16)
2.

(a) Tarkastellaan funktiota f (t,y), jonka muuttujat x ja y riippuvat suureista 7 ja 0,

ts. = g(r,0) ja y=h(r,0). Tiedetään, että g (1, 7) = 1 ja h (1,7) = 1. Lisäksi

J 1,1) =2, (1,7) 3, ar 1.1)=4, 57 (1 1) =5,

2 05)-6 50-10 -s F0D-s

1 (1.2) 10 (3.5)

Ratkaisutapa 1. Tehtävässä on tarkoitus käyttää ketjusääntöä. Tämä ratkaisu
käyttää kaavakokoelman kaavaa 2. Nyt ulkofunktio (kaavassa F) on f, ja sisäfunktio
G (r,0) = (g(r,0),h (r,0)). Kysytyt osittaisderivaatat ovat yhdistetyn funktion
FoG osittaisderivaatat.

(70013) =r'((15)) (13) -FC1Do(13)

=[2 4] | "| [20013 2.7+4.9]=[44 50 |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

joten Ea (1 7) = = 44 ja y (1 7) = 50.

Ratkaisutapa 2. Kirjoitetaan auki ketjusäännön erikoistapaus, jossa (monisteen
merkintöjä käyttäen) n =p=2jam=1.

f
AN
[><

Sisäfunktion sijoittaminen ulkofunktion derivaattaan tarkoittaa nyt sitä, että ulko-
funktion osittaisderivaatat otetaan pisteessä (x, y) = (9 (1,7) ,h (1, 5)) = (-1, ).

J (1,7) -2 JUON (5) a 0957 (15) 2:6+4-8=44,

% (15)-3 Ox i (19) % (1 3) | ar 1, 5 p (*

 

 

 

 

 

 

 

 

) 2-7+4-9=50.

SI
(b) Selvitä funktion f(z,y,2) = z1n (x? + y?) määrittelyjoukko ja laske kaikki toiset
osittaisderivaatat.
Ratkaisu. Funktio on määritelty, kun x? + y? > 0, eli (x,y) % (0,0). Siis f ei ole
määritelty z-akselilla. Määrittelyjoukko on D; = R? ((2,7,2) :t=y=0).
Ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

of z 222 of 2yz of 2, 2
-2x N In (2? + *) .
Ox 124932 tr y?" Oy = n2+y% N (2*+4))
Toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat

OJ 22(x2 +377) — 2732-27 —22(—a?+3P) Of 22(42—)

dx? (22 + 72)? (22 + 42)? ' OP (22432)? '
&f —4xyz Of 2x &f 2y &f 0
Oxdy — (22 +432)” Oxdz x2+3" Oydz 22432" 02

3. Etsi funktion f (x,y) = 1? — 4—32x+1 suurin ja pienin arvo suljetussa joukossa, jonka

rajaavat koordinaattiakselit ja käyrä y = (x — 1)?.
Ratkaisu. Ääriarvot voivat tulla alueen sisällä olevissa kriittisissä pisteissä tai reunakäy-
rillä saatavien yhden muuttujan funktioiden derivaatan nollakohdissa tai niiden määrit-

telyrajoilla (tämän alueen tapauksessa tämä tarkoittaa käyrien leikkauspisteitä).

   

   

(0,0) (1,0)
Kriittiset pisteet: Polynomi on derivoituva koko avaruudessa R?, joten kriittisiä pisteitä
voi olla vain osittaisderivaattojen nollakohdissa. Koska osittaisderivaatta 5 =-1%70,
ei kriittisiä pisteitä ole.
Reunakäyrät:
- a-akselilla funktion esitys on f (2,0) = 25 — 3x+1 "=* g; (x) ja sen derivaatta on
gi (2) = 3x? — 3, joka on nolla, kun x = +1. Näistä arvoista huomioidaan vain positiivi-

 

nen, koska piste (1,0) on alueessa, mutta (—1,0) ei ole.
- y-akselilla f (0,7) = -y+1 m (v), jonka derivaatalla g5 (7) = —1 ei ole nollakohtia.
- käyrällä y = (x — 1)? funktion esitys on f (x, (x — 1)?) = 23 — (2-1)? -3x+1 =

 

13 — 42 — a" 43 (x), jolle 94 (x) = 3x? — 2x — 1 = 0, kun x = 1(2+4) eli x =1 tai
1=-1. Piste (1,0) on alueessa, (—3, €) ei ole.

Tutkittavaksi jäivät siis vain pisteet (0,0), (1,0) ja (0, 1).

f (0,0) = 1 (suurin arvo), f(1,0)=-1 (pienin arvo), /f(0,1)=0.
4. Kuulan 1? + 4? + 2? < 4 läpi porataan reikä, jonka reuna on sylinterin 2? + y? = 1 muo-
toinen. Laske reiällisen kuulan tilavuus avaruusintegraalina.
Ratkaisu. Kuvissa reiällinen pallo sekä sen projektio ry-tasolle.

Yy

 

 

 

Käytetään sylinterikoordinaatteja, koska sekä kuula että sylinteri ovat pyörähdyskap-
paleita z-akselin ympäri. Koordinaatin 2 suunnassa mennään pallon alapinnalta yläpin-
nalle. Pallopinnan esitys on

P+yYc+2=4 > 2=+/4—(22+2)=+/4—72.

xy-tason suunnassa mennään sylinteripinnalta pallopinnalle eli 7 € [1,2] ja z-akselin

 

 

ympäri koko ympyrä eli 9 € [0,27]. Siis integraali on
27 2 py/4? 2m 2 v
[ / / 1r dzdrdo = [ 140 / [rt
o Ji J-V 0 1 /-V4-r?
2
= (27 — of r (va -—r?+V4- ”) dr
1
2 1 2
=2r | 2 (4-9) dr =27/ - i (4-9)!

4n ay = 4m-35 1 :
=-7 (0-31) = — =4m-3) = 4V3n.