Exam text content

MAT-01410 Insinöörimatematiikka A4 (kevät 2016) / Mattila
Tentti 9.5.2016

Vastaa kaikkien neljän kysymyksen kaikkiin kohtiin. Tarkastuksen nopeut-
tamiseksi tee tehtävät 1 ja 2 eri konseptille kuin tehtävät 3 ja 4.
Tehtävät eivät ole vaikeusjärjestyksessä. Kokeessa ei saa käyttää laskimia tai
taulukoita. Myöskään erillistä kaavakokoelmaa ei ole, tarpeelliset kaavat on
annettu tehtävänantojen yhteydessä. Tehtäväpaperia ei tarvitse palauttaa.
Tehtävien ratkaisut löytyvät kokeen jälkeen kurssin Moodle-alueelta. Muis-
tathan antaa opintojaksosta palautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi
opintosuorituksen.

1. Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota

(b)

sin y
27 +y

 

(x,y) =

Mikä on funktion f (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko My?
(1p)
Määritä tasa-arvokäyrä f (0) = ((z,y) € M; | f(z,y) = 0). (1p)

Määritä raja-arvot — lim —f (x,y) ja 1lim f(z,y)tai osoita,

(2,7) (5,5 (2,7) (0,0)
että raja-arvoa ei ole olemassa. (2p)

Määritä funktion f ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat. (2p)

Muodosta funktion f(z,y) = V%/y lineaarinen approksimaatio
pisteen (36,27) suhteen käyttämällä kaavaa

Ja+h,b+k) = Fa,d) + (a, b)h + ar DK

ja arvioi sen avulla lukua V37/24. (3p)
Osoita, että funktiot G : RS > R3,G(z,y,2) = (x?,y?, 2?) ja

F:R3 > R, F(u,v,w) = uv + 7 toteuttavat ketjusäännön

(F 0 G)'(z,y, 2) = F'(G(z,y, 2))G(x,7,2) (3p)

(Ohje: vektorifunktion derivaattamatriisin 1. rivin ja j. sarakkeen
alkiona on i:nnen koordinaattifunktion derivaatta j:nnen muuttu-
jan suhteen.)

 
 

3.

 

(a)

(b)

(a)

(b)

Määritä integraali

8 2 i
/ = —ydydn. (3p)

Ohjeita: Integroimisjärjestyksen vaihto helpottaa laskemista. Kiin-
nitä huomiota integroimisrajoihin, piirrä myös kuva integroimisa-
lueesta.

Määritä napakoordinaatteja apuna käyttäen integraali

dy dz. (3p)

k" <-

Ohjeita: Hahmottele integroimisalue, etsi sille rajat napakoordi-
naateissa ja käytä kaavaa

72(0)
Jf n T,Y jae = [| ; F(r cos0,rsin 0)r dr do.
r1(0)
1+y pys
Laske ; J [ N dn dz dy. (3p)
1 o

2

sensa) epäoleellinen integraali yli alu-
een z? + 4? + 7? > 1 pallokoordinaatteja apuna käyttäen. (3p)
Ohjeita: Hahmottele ensin integroimisalue karteesisessa koordi-
naatistossa ja määritä sen jälkeen integroimisalueen tyhjentävä jo-
no pallokoordinaatiston joukkoja. Muista, että p = 1/x? + y? + 2?
ja käytä kaavaa

Jif toivon

EIR F(psin 4 cosO, psin sin O, p cos 4) p? sin  dp dp dV.
U

Määritä funktion (