Exam text content

MAT-01420 Insinöörimatematiikka B4
Tentti 10.11.2014 / Kimmo Vattulainen

e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
e Kääntöpuolella kaavakokoelma

 

1. Olkoon käyrä r(t) = (t, 9, 4-77), teR.

a) Missä zy-tason pisteessä /pisteissä käyrä leikkaa ry-tason?

b) Mikä on käyrän pisteeseen t=-1 piirretyn tangenttisuoran parametriesitys?

c) Onko olemassa toista käyrän pistettä, jossa tangenttisuora on yhdensuuntainen
b)-kohdassa määritellyn suoran kanssa? Jos on, niin mikä on tämä piste?

2. a) Onko funktiolla
TE

f(z,v) = =
(2.1) ===
raja-arvo origossa ja jos on, niin mikä on sen arvo.
b) Määritä pinnan

AY

- = jon W HOI

pisteeseen (x, y, 2) = (2,0,1) piirretyn tangenttitason yhtälö.

3. Määritä funktion
f(2,y) = 22? +207 +8y— 2rzy

ääriarvokohdat ja määrää niiden laatu, jos mahdollista, Hessen matriisin avulla.

A. Joukko A = f(z,y) € R? :y > 0). Suppeneeko epäoleellinen integraali

JI et dzdy
A

ja jos suppenee, niin mikä on integraalin arvo?
Vihje: Napakoordinaattimuunnos ja siihen sopiva joukkojono.

 
 

(2) /
(2),£

0 + (ea) n | — (ota)n = ap (a) a(ajn |
D +097 = 06(0)/ [

(1:10) — to
Na'nog) (amo

1 ((an)A (an) 2), JJ - fipxp (6*m)f 1f
4002+,9]]] = 10 |][ = -2 10 ]ff =

PP Op op PUS J(P 009 '9 us f uus 19 soo p urs0) f 1] =

a (e'aim)y ||]
OP Ap (9 18 49 509 4) f ah [= Tp (Na) f J

()VAn + (Av = (SA
0 = (x)y
0= (2)6

0 + |(2)/| m = xp =

 

 

  

 

"p np

 

TI

'6

p 0
(9 9)/ ao (9— 94% jen) X= (om a
(2— 2) (9)7 H.(e — x)? + (2— x)(e).£ + (e)/ = (987 9
(2—2)(8),4 + (0):4 = (2):7 o
= (9,2: (0I)JA 17
0 = (K)JA = 9(2),f = (X)f97 =
C97(0)0,9 = (2) (1 0.9) a
ug ++ 05% 03

9 + 09E 0970 s
(9FE + 69TE (957 A
EUIJOONONEALE S]

PO OPIEUoJeumooutsu] 07T10-LVIN