Exam text content

 

<= TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

MAT-02400 Vektorianalyysi (Vuojamo)
Tentti 17.6.2014

 

 

Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite ohessa.

Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastaus-
paperin tulee sisältää päättely, jolla lopputulokseen päädytään.

- Laske vektorikentän F(z,y,2) = (zy?,cosz + x?y, —ysin 2) divergenssi ja
roottori. Määritä kentälle myös potentiaali tai jos sellaista ei ole olemassa,
perustele miksi.

- Funktio f(z) = —2? rajaa z-akselin kanssa tasoalueen välillä 1 < x <2. Piir-
rä tilanteesta kuva ja merkitse siihen reunakäyrän positiivisen suunnistuksen
suunta. Laske positiivisesti suunnistetulle reunalle vektorikentän käyräinte-

graali kentälle
L - sxy + tanxz]1-+ O; sil
3 Yeosy

. Tason K yhtälö on 56x—11v—2+8=0. Tason ja lieriön 1?+4? < 2 leikkaus
on pinta S. Pinnan positiivisesti suunnistettu reunakäyrä on se käyrä, joka
kuljetaan positiivisen z-akselin suunnasta katsottuna vastapäivään.

(a) Määritä jokin pinnan $ positiivisen puolen normaalivektori.

(b) Laske pinnan S pinta-ala.
. Laske vektorikentän
F(2,4,2) = (n +3y+29,27 +2? +1,a*y)

vuo alaspäin origokeskisen 3-säteisen pallonkuoren puolikkaan (z > 0) läpi.

 

Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan Moodlessa ja POPissa (periodin 4/2013-
2014 toteutuskerran sivulla) heti, kun ne ovat tiedossa.
10.

7

SU

MAT-02400 Vektorianalyysi, tentin kaavaliite

+ 1 =(,y,2), r=|rl =,/22+p+2, Vr=", VY :r=3

- sa (VP9 + fVg

Ve(fG)=(V7)- *C+F(V-G)
vr Fa) = (VF) x G+ (Vx G)
VII) = KG)

$ x ar = [| (2 = do dy
: $, Fends- [| v-rara,
J, =-nas= [] v-rw
J Fear [[(vx8)nas

T= psin dcosy
=psindgsind = dx dy dz = p? sin $dpdg df
2 = peosg

- N(9,0) = a? sing (sin 9 cos, sin osin 0, cos), ||N(g, 0)|| = a? sin g

+ Massa ja massakeskipiste. Käyrälle C:

m= [54s, 3== / sän =" 49 ds, = = [ 204.
c m Jo m

Pinnalle S:

m= || sas, 3== || 25as, 7=7/] vaas, 2== [| 6as.
S mM Js m Is m JIs

1 — cos(21)

1 2t
sin(2t) = 2sint cost, sin? t = = cos? t = =)
9
K
=