Exam text content

 

MAT-02400 Vektorianalyysi / Hirvonen
Tentti 20.12.2013
Ei laskimia tai kirjallista materiaalia. Kaavakokoelma kääntöpuolella.

Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastauspaperin tulee

sisältää päättely, jolla lopputulokseen päädytään.

1. Laske vektorikentän F (z, y, 2) = (y?, 2, 7) käyräintegraali fo F-dr, kun käyränä C on pin-
tojen 2 = z?+7+yjay=27 leikkauskäyrän se osuus, joka kulkee pisteestä (—1,-2,—2)
pisteeseen (1,2, 4).

2. Tarkastellaan pintaa S, jonka parametrisointi on r (u,v) = (2cos u,v,2sinu), missä u €

3
B =] ja v € [1,3]. Laske funktion f (x, 2) = x + 2 pintaintegraali yli pinnan 5

3. Laske vektorikentän F (x,y, 2) = (4, =, 2) vuo alaspäin läpi pallopinnan z?+y? +2? =9

sen osan, jossa 2 < 0.
4. (a) Näytä, että vektorikenttä
F (2,4, 2) = (ye*, ve + 222 cos y, vye" + 4z sin y)

on konservatiivinen.

(b) Vektorikentällä F (x,y) on potentiaalifunktio f (x,y) = zy? + ax?, missä a on vakio.
Selvitä a, kun tiedetään, että kentän F divergenssi pisteessä (1,1) on 14.