Exam text content

47| MAT-02450 Fourier'n menetelmät
Tentti 27.2.2017 / Merja Laaksonen

- Fi muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta
Muista, että pisteet tulevat perusteluista eikä arvauksista.

1. Funktio / on määritelty yhtälöillä

fn =2, kun 0<1<1,
S) =0, kun 1<rt<4,
fC+4)= (1.

Laske määritelmän mukaisesti sille trigonometrinen Fourier-sarja.

 

2. Viivan pala y = 1 + 217,t € (0,1) jatketaan parittomaksi funktioksi r ja
rakennetaan Fourier-sarja F. Piirrä kuva.
a) Onko f sinisarja, kosinisarja vai ei kumpaakaan? Miksi?
b) Syntyykö Gibssin ilmiötä? Jos syntyy, niin missä kohdissa?
€) Minkä suorien y = a ja y = b, a,b € R väliin ? mahtuu? Kyseessä on
likiarvot, jotka eivät saa olla liian pieniä eikä turhan suuria.

3. Erään otoksen, jossa 7 = 7 ja näytteitä on otettu 0.5:n välein, DFT-jonon alku

   

1603 2 0 1-24 9
0;—7,14 3. ==;0.—,1,0
a 60

 

a) Loppujono
b) Mikä on arvio termille
€) DFT-jonon jäse:

pyyhkiytynyt pois. Täydennä jonon loppu.
| ja mitä taajuutta se vastaa?
n laskea ääretön määrä. Mitä on G s ja G33?

    

Jos

 

/ Fl —x)e ml dx = 20-11 — 021,

niin mikä on funktio f. Vihje: Muunna yhtälö taajuustasoon. Alla on kaavoja,
joista voi olla apua.

1
— a+ jo

le] (0) = ja FlH00*H(o)

, missäa > 0

Kaavakokoelma

cos (x + y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y). — sin(x + y) = sin (x) cos (») + cos

1 1

2

sin (v),

 

sin (x) cos (p) = 3(m(s—9) + a+9)). ca (x) voa (3) = 3(c0s(8—9) rom (x+9)).

2
1

sin (x) sin (y) = (et —y) cos (x + »):

2

 

n=1 n=00

2 rdar
il= E (1) cos (nor) dr, n 23
T Ja

 

2 rdar
hy vei 3/ (0) sin (nor)dr, — n=1.2,3...
T Ja

1 d+T
en = 7/ SJlr)e dr, n =0,+1.+2
T Ja
| pair, an a a+
EN a = X jaf -$+) GT

va va
N 1 2
Gn= Yo ge", n=0 N -1, &« = 7 2 GW

k=0 n=0

 

FSH) = Fw) = [iee du HF) = S(1) =

 

(701) (0)

 

(0) (0) =

FIS —4)| (0) = €" F (v),

FS = H) (0) = F(w)G(0).

 

PO! Fl] (0) =2n7(-0). — +00)=f

 
 

[= Pan = 3 [7 IF) do

F(w)=h S S (kh)e'otä, — |

k=-00

 

+V (am cos (mvr) + hy sin (nevr)) = y ene" = 094) 2]

 

cos (not + 6)

 

 

, E...

ikr=

x
m)

joF (0)

 

2 e'tt £(1)) (a) = F(w-8)

FS] (0) = 37 + OX)

fl —x)g(x) dx.
co