Exam text content

MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta
Tentti 28.2.2017 / Kimmo Vattulainen
e Funktiolaskin sallittu

 

1.a) Olkoon P(4N B) =02 ja P(A| B) = 0.7. Laske P(B).

b) Herra A:lla on taskussaan 5 avainta, joista vain yksi sopii kotioveen. Kotiin tulles-
saan hän ottaa taskustaan yhden avaimen ja kokeilee sitä. Jos avain ei ole oikea, hän ottaa
taskustaan seuraavan avaimen ja kokeilee sitä. Näin hän käy läpi avaimia, kunnes ovi aukeaa.
Olkoon satunnaismuuttuja X = "se kokeilukerta, jolloin ovi aukeaa". Mikä on satunnaismuut-
tujan X tiheysfunktio f(z), odotusarvo E(X) ja varianssi Var(X).

2. Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio ja otosavaruus ovat
F(z) = e(7+1), 2 € 2 =[1,5]

a) Millä vakion c arvolla f(z) on tiheysfunktio?

b) Laske TEL E P(X? > 4).

c) Mitä on E (x)?

3. Tiedetään, että laukauksen osumakohta (X,Y) on satunnaisvektori, jonka tiheysfunk-
tio ja otosavaruus ovat

4— (2? +?)

f(z,7) = =

; (1,7) €9 = ((x,7) |? +347 <4)

Millä todennäköisyydellä viidestä toisistaan riiipumattomasta laukauksesta ainakin kolme
osuu maalialueeseen A, joka on neliö

A= ((z,y)| -1<x<1,-1<y<1)

4. Huoltoon tuodaan viikossa 100 laitetta, joihin vaihdetaan 1-4 tiettyä kondensaattoria.
Aikaisempien tietojen mukaan laitteisiin vaihdetaan kondensaattoreita seuraavasti

 

Vaihdettavien kondensaattorien lukumäärä — 1 2 3 4
Osuus laitteista 10% 20% 50% 20%

 

Kuinka monta kondensaattoria pitäisi vähintään olla varastossa, jotta ne 95%:n todennäköi-
syydellä riittävät viikoksi? Vihje: Käytä keskeistä raja-arvolausetta.

 
40/45

 

 

TUT K) N Yo jKS =
z
ji Poro LU
(T— 4)7 X
- Ks
(1 )x 2S(1— 4)

o

-—X

 

(T'ON € 7 =2 upu (,0 IIN & X sor

(4 'X)A0D 907 + (A)X8A,9 + (X)a8A,D = (49 + XD)zeA

Las (A)28M(X)a8A N

(4'X)400
AX0 = (A)I(X)7 — (AX)A = (41 — A)(Xd — X)) H = (4'x)400

= (4'X)1100

(22) (1a) 1/ = (3 *ta)/ — :snnusosyeumädmy

V= (X)mvA K=(x)g *TT'0=2 = (2)/ : (v)10d
(d—1)du = (x)sea 'du=(x)d

ia 0=2 tultu) — (7 (up

— = (X)xtA *— = (X)d 'O<Y '0OZT my = (2)/:(v)dxm

A
0<7A 5 (02]1—x )d

 

(X)10A D = (9+ X9)aeA = 94 ij (+ x9)7
VIT

ap (2) /(2)y J = (000g (e)f(e)y < =

'6T

'8T

'2T

'9T

GT

PT

ET

TT

TC

'0Z

'6T

'8T

'2T

'9L

'GT

TT

[00,4] (09),20.7 = (05 0001 =4 *G/ ix at
= (X)A/ = (x)d — 'eT

JONA] — (X0A = (X)8A — "TT
00— HIT

U9T

= ap (0)/2 | =(x)a 0=(e/a4=(x1d 6
W0f N = (25 X)d = (1) '8

(E)A(V)d = (J UV)A — :sunvaojseumddimy L

Cg | v)aCea)a "i :
Ga ya0ma = 9d 9

1=
(U li v)a- «(ay U | y)a (yl pa0vla = (1 U) 'g

()d
(G UV)d

1=" y>l>?
(m U) dyull) ++: — (1 UM UNA KK+
>? 1=
(yu! va KX maX- (wh) €
(G UV)A — (G)d + (V)d = (g NV)d «

VIHON NE] Bf L[0ALLy *LJUONSEISAASIONEUUDPOT, 00SZ0-LVIN

=(g|v)d 7

 
t- jakauman (n) kriittisiä pisteitä c: F(c)=P(t<c)=1-a
Normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktion arvoja &(x)=P(Z<x) | a
| 040 —0.25 —0.10 — 0.05 —0.025 —0.01 —0.005 0.0005
0.325 —1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619
0.289 0816 1886 2.920 4303 6.965 9.925 31.599

x | 0.00 001 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 007 0.08 0.09| ”
0.0] 05000 05040 05080 05120 0.5160 0.5199 0.5239 05279 05319 05359] — |
0.1] 05998 05436 05478 05517 0.5557 0.5596 05636 0.5675 0574 05753] — 2
0.2] 0.5793 0.5832 05871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 06103 06141 3 | 0277 0.765 1.638 2353 3.182 4541 5841 12.94
0.3] 08179 06217 06255 06293 0.6331 0.6368 0.6406 0,6443 06480 06517] —4 | 0271 0741 1533 2132 2776 3747 4604 8810
0.4] 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 06772 06808 0.6844 ossra| S | 0287 0727 1476 2015 2571 3365 4032 6860

6

7

8

9

 

 

0.5] 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0265 —0.718 1.440 1.43 2447 3.143 3707 5.959
0.6] 07257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 07549 0263 0.711 1415 1.805 2365 2.008 3499 5408
0.7| 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 07754 0.7823 0.7852 0262 0.706 1.397 1860 2306 2896 3355 5.04
0.8] 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0:8133 0261 —0.703 1.383 1833 2262 2821 3250 4781
0.9 | 08159 0.8186 0.8212 0.8238 08264 0.8289 0.8315 0.8340 08365 ossaa| —10 | 0.260 0.700 1372 1812 2228 2764 3169 4587
1.0] 08413 0.8438 08461 0.8485 0.8508 0.8531 08554 0.8577 038599 08621 11 | 0260 0.697 1.363 1.96 2.01 2.18 3.106 4.37
1.1] 0.8643 0.8665 08686 0.8708 08729 0.8749 08770 0.8790 0.8810 0.8830 12 | 0259 0.695 1.356 1782 2.79 2681 3,055 4318
1.2] 08849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8025 0.8044 0.8962 0.8980 08097 os0ts| = 13 | 0.259 0.694 1350 1771 2.160 2650 3012 4221
1.3] 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 09115 0.9131 0.9147 09162 09177] = 14 | 0.258 0.62 1345 1761 2145 2624 2977 4.40
1.4] 0.9192 0.9207 09222 0.8236 09251 0.9265 09279 0.9282 0.9305 0319 15 | 0258 0.691 1.34% 1.753 2.31 2.602 2047 4.073
1.5] 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 16 | 0258 0.690 1.337 1746 2.120 2583 2.21 4015
1.6] 0.9452 0.9463 09474 0.9484 0.9495 0.9505 09515 0.9525 0.9535 019545 17 | 0.257 —0.689 1.333 1740 2.110 2567 2.98 3.65
1.7] 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 09608 0.9616 0.9625 04633 18 | 0257 0.688 1.330 1734 2.101 2.52 2878 3.922
1.8] 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 09686 0.9693 0.9699 0.9706 19 | 0257 0.68 1.328 1729 2093 2539 2861 3.883
1.9] 09713 09719 0.9726 0.9732 0.9738 09744 09750 0.9756 0761 osre7| —20 | 0.257 —0.687 1,325 1.725 2.086 2528 2845 3850
2.0] 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0:9817 21 | 0257 0,686 1.323 1721 2.080 2518 2831 3819
2.1] 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 22 | 0256 0.686 1321 1717 2.074 2508 2819 3792
2.2] 09861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 ossaa = 23 | 0.256 0.685 1319 1714 2,069 28500 2807 3768
2.3] 09893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9004 0.9906 0.9900 0.9911 0.9913 og016| = 24 | 0256 0.685 1.318 1711 2064 2492 2797 3745
2.4] 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9829 09931 0,932 0:9834 0:9036 25 | 0256 0.684 1.316 1.708 2.060 2485 2787 3725
2.5] 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 09845 0.9046 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 26 | 0256 0.684 1315 1.06 2.56 2479 2779 3707
2.6] 09053 09955 09956 0.9957 09050 0.9060 09961 09962 09963 09064 = 2/ | 0256 0.684 1314 1.703 2052 2473 2771 36%
2.7| 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 09969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 28 | 0256 0.683 1.313 1.01 2.048 2467 2763 34674
2.8 09974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9877 0.9878 0.9979 0.9979 0.9980 09981 29 | 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2462 2756 3.659
29] 09081 09982 09982 09983 0.9984 0.9084 0.9985 09985 09085 ossaa| —30 | 0256 0683 1.310 1697 2.042 2457 2750 3.646
3.0] 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 40 | 0255 0.681 1303 1684 2.021 2423 2704 3551
3.1| 09990 0.9901 0.9991 0.9991 0.9092 0.9002 0.9962 0.9092 09003 ossaa] = 80 | 0.254 0.678 1202 1664 1.990 2374 2639 3416
3.2] 09093 09093 09994 09994 0:9094 0.9004 0.9004 019005 09095 osass| 120 | 0254 0677 1289 1658 1980 2358 2617 3373
3.3] 0.s005 09995 09095 0.9906 09096 09096 09996 0996 05096 09007] —* | 0253 0674 1282 1645 1960 2326 2576 3291

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fjakauman kriittisiä pisteitä c: P/F<c)=0.95, kun F-F/n, 12)

möoa 2 3 k | a 7 asa] maas mn as ma ao

 

 

 

 

 

 

 
  
  
  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X-jakauman %/(n) kriittisiä pisteitä c: F(c) =P(w<c)=1-a VUO tata tooan 0671 40 za jaassaa 3077 aan 054 naisi aisa 001 20020 2317 25006
2 lat 1900 19.16 1925 1920] 1033 1936 1037 1930 1840] 1941 1040. 1045 1840 19.0 1945
3 (013 255 020 212 001 asi am am 88 87 ass 053 050 85
a 5 Ti s si 835 020 a10 000 a0 am 50 ät 217 370 388
n |0.995 0.99 0.975 0.95 09 —01 —0.05 0.025 0.01 0.005 15 kiai 1 18 mo 4N 4 110 4 4m Sm dasa 1117
1 0.000 0000 0,001 0.004 0016 2706 3841 5024 6635 7879 1 Si 4d0 49 am am] am 3 3 3 35 3m 32 di 3it 3 27
21|'0Go 006: 0051 10.105— 04 ; y : S 0 532 435 386 163 140] 237 229 223 218 11 207 201 26 280 280 276
3 | 20 05 0210 02 059 251 1ais 00 1 n —-1—-kkMMMEMEEEEESEES
4 | 0,207 0297 0484 0711 1,064 7,779 9488 11143 13277 14860 mo 436 3 310 287 27 20 211 24 1 23] 22 20 22 20 19 19
S | 0.412 0554 0831 1145 1610 9236 11070 12.833 15086 16.50 1 10 KETI PANT Ja Ja. Jahan ja ja. 14 a 1
6 | 0.676 0.872 1.237 1.635 2204 10.645 12592 14449 16812 18.548 100 — 336 00 270 240 231] 210 210 203 17 199] 145 177 100 102 140 10
N 0.989 1,239 1,690 21167 2833 12017 14067 16013 18475 20278
1344 1,846 2180 2733 3400 13.362 15507 17.535 20090 21955 "
9 [1735 2088 2700 3325 4168 14684 16919 19023 21666 23589 ua ES S ta
10| 2156 2558 3247 3940 4865 15987 18307 20.483 23209 25188 mösa a a joa 7 a a vj s n 2 m 0
11] 2603 3053 3816 4575 5578 17275 19875 21920 24725 26757 ”
12301 3571 440 5226 630 18510 21025 23397 28217 2830) 10 M5t jaon Hi? 0225 39] 3953 3434 3927 Msä 040 3041 043 jäki saan ma sain
ABN 4407 5000 GB 7042 19812 22302 24738 77688. 20810 5 Yu 1604 18.4 1810 1488] 1473 1482 WM 1427 10] 1430 1425 117 1ai2 vat 1906
14| 4075 4860 5629 6571 7790 21.064 23685 26119 29141 31318 $ 1 va 27 73 7: sm) 02 10 an 07 aa 19
15| 4601 5229 6262 7,261 8547 22307 24906 27.488 30578 32801 7 — 07 65 sm 582 82
16] 5.142 5812 6908 7962 9312 23.542 26296 28845 32000 34267 a K A 10 Ta
17| 5,697 6408 7.564 8672 10.085 24769 27.587 30191 33409 35718 0 am 54 48 447 19
18] 6265 7015 8231 9390 10865 25989 28869 31526 34805 37155 E 1 47 im jm 1m in jm im 190 15 20
19| 6844 7.633 8907 10.117 11.651 27.204 30.144 32852 36191 38582 Et | sika Dm as 11) 200i aN 10 i 10 am am 19
20| 7.434 8,260 9591 10.85 12443 28412 31410 34170 37.566 39997 7 eli [-44-8--M=4 Et EV"i
21] 8034 8397 10285 11.591 13.40 20815 32671 35479 38932 41401 NA JAETA
22] 8843 9542 10982 12.338 14.041 30813 33824 36781 40280 427%
23] 9260 10.196 11.689 13.091 14.848 32.007 35172 38076 41638 44181 Flakauman kriitislä pisteitä c: P(F<c)=0.90, kun F-F/ns 13)
24] 9886 10.85 12401 13848 15659 33.196 36415 39364 42980 45550
25 10.520 11.524 13.120 14611 16473 34.382 37652 40.646 44314 46928 m10220 50! 0 nn non a a m
a 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 35.563 38.885 4123 45.642 48290 4052,2 4998,5 5403,4 5624,8 S7E3,8|5850,0 5028.4 5981,1 8022,5 60SS.0|6106.3 6157.3 62087 6239.8 6302. 6334.1
11.808 12.879 14.573 16.151 18.14 36.741 40113 43195 46.63 49645 Hn annu man alaa vainaa kann an 2N HE Oa x
28] 12.461 13.565 15.308 16928 18.939 37.916 41.337 44461 48278 50.93 22 100 1920 19 1] 192 lm raion 1428] us täin vu vistan 138
29] 13121 14.256 16.047 17.708 19768 39.087 42557 45722 49588 5233 3555197 $K KISAN ar 80 TM TM 10 jN 1 19 1915
30|13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43773 46979 50.892 53672 n EUn 15 TÄ 12 aN Mie 1N LAN LA CON M 1U
40] 20707 22164 24.433 26.509 29.051 351.805 55758 859.342 63691 66765 :
50| 27901 29.707 32.357 34.764 37.689 63.167 67.505 71420 76154 79490
60|35.534 37.485 40.482 43.188 46459 74397 79.082 83298 88379 91952
7O0| 43275 45442 48.758 51.739 55329 85527 90.531 95023 100425 104215
80 | 51.172 53.540 57.153 60301 64278 96578 101879 106.620 112329 116.321
90]50.196 61.754 65647 69.126 73201 107.565 113.145 118.136 124.116 128.289