Exam text content

Toei Tarhonen
topi tor honen G-ut.fi

MAT-10422 Insinöörimatematiikka B 2u
Tentti 12.12.2010.

Ei kirjallisuutta, muistiinpanoja, taulukoita tai laskimia esillä.

3

1
lä a) Olkoon 4= [i i

02 1 x
E = E j| Ratkaise X yhtälöstä A" XB+3B=1.

b) Laske R':n suoran L: x=(1,-1,2)+1(1,1,3), ? e R ja tason

T:x,+x,-x,=2 leikkauspiste tai osoita, että sellaista ei ole.

J Olkoon
2 4 2
A 033
= G

a) Mitä on rank(4)?
b) Laske det(4). Onko A kääntyvä?

c) Hae yhtälön 4x=b, b = [1 -1 o]' kaikki ratkaisut, tai osoita, että
ratkaisuja ei ole.

-1 3 -1
3. Hae matriisin M % 0 5 1 | ominaisarvot ja vastaavat ominaisvektorit
0501

(ominaisavaruuksien kannat). Mitä ovat M:n ominaisarvojen algebralliset ja
geometriset kertaluvut? Onko matriisi M diagonalisoituva? Jos on, niin
diagonalisoi M.

4. a) Olkoon fa,b,c) avaruuden R" lineaarisesti riippumaton vektorijoukko.
Onko (0.a..c) lineaarisesti riippuva vai riippumaton? (Perustelut!)

b) Ovatko vektorit (0,3,2,0), (1.1,1.-1), (2,0,1,5), (1,2,3,3), (1,2,3,4)
lineaarisesti riippuvia vai riippumattomia?

c) Olkoon H avaruuden R” jokin ei-triviaali aliavaruus. Määritä kaikki
sellaiset vektorit v € R”, joille pätee
Proj,yv = perp,v.