Exam text content

Sall a Koski nen
Hiukkanen
= TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO.

MAT-13510 Laaja matematiikka 1U, Tentti 15.10.2012

 

 

 

Tentaattori: Simo Ali-Löytty

Ohjeet: Ei laskimia, eikä muistiinpanoja. Kaavakokoelma
"Insinöörimatematiikka lu"on paperin kääntöpuolella.
Kirjoita pääkonseptiin neljä
2x2-ruudun kokoista neliötä:

Jokainen tehtävä tehdään omalle sivulle / omille sivuille.
Kirjoita vastauksien perustelut ja välivaiheet näkyviin!

 

 

 

 

 

 

 

1. Ratkaise kaikki kompleksiluvut z € C, jotka toteuttavat yhtälön 2? +4 = 0.
Anna vastaukset muodossa z = x + iy, missä x,y € R ovat sievennetyssä muodossa.

2. (a) Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille n € N pätee

n
Ydi =2n(n+1).
1=1

(b) Osoita, että —1-x = —x kaikilla kunnan alkioilla x. Käytä vain kunta-aksioomia
ja tietoa, että 0-x = 0 kaikilla kunnan alkioilla x.

3. Osoita raja-arvon määritelmää käyttäen, että lim (2? +3x—2)=2.
=

Toisin sanoen todista kyseinen raja-arvo € — ö-todistuksella.

4. Olkoon f(x) = elsi"()l reaalifunktio.

(b) Laske derivaatan avulla funktion / kriittiset pisteet. (max. 4 pistettä)

Kunta-aksioomat:
Joukko R varustettuna yhteenlaskulla + ja kertolaskulla : on kunta, jos se toteuttaa
seuraavat aksioomat. Olkoon seuraavassa x, y,z € R.
K1: x+y=y-+x (yhteenlaskun vaihdantalaki)
K2: x+(y+z)=(x+y)+z (yhteenlaskun liitäntälaki)
K3: On olemassa 0 € R s.e. x+0 = x (yhteenlaskun neutraalialkion olemassaolo)

 

K4: Kaikilla x € R on olemassa vastaluku y € R s.e.x+y=0, merkitään y = —x.

K5: x-y=y-x (kertolaskun vaihdantalaki)

K6: x-(y-z) = (x-y)-z (kertolaskun liitäntälaki)

K7: x-(y+z)=x-y+x-2(osittelulaki)

K8: On olemassa ] € R,1 40.se.1-x=x (kertolaskun neutraalialkion olemas-
saolo)

K9: Kaikillax € R jax7 0 on olemassa käänteisluku y € Rse.x-y=1, merkitään

=! taiy=x"!
y=3 täit =xX*.