Exam text content

MAT-13520 Laaja matematiikka 2u
Tentti 12.12.2011
EI LASKIMIA, EI MUISTIINPANOJA

PIIRRÄ PÄÄKONSEPTIIN NIMEN ALLE VIISI NELIÖTÄ (a
2 x 2-ruutua):

 

 

 

 

 

. Tutki Gauf-Jordanin eliminointimenetelmän avulla millä parametrin
keR arvoilla yhtälöryhmällä

 

 

11 +73=1
22 + 13 =k
72 + kz3 = 1

on

(a) yksikäsitteinen ratkaisu,
(b) ei yhtään ratkaisua,

(c) äärettömän monta ratkaisua?

2. Tarkastellaan matriisia

=>
I
K
ore o
o

kun a€R.

(a) Tutki determinantin avulla millä parametrin a valinnoilla kään-
teismatriisi A" on olemassa.

(b) Etsi edellä olevissa tilanteissa A"'.

a=[i 31].

3. Tarkastellaan matriisia

Etsi matriisin A

 
(a) ominaisarvot ja vastaavat ominaisavaruuksien kannat,

)
b) ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut,
(c) nolla-avaruuden kanta,

(d) sarakeavaruuden kanta.

4. Olkoon (v1,..., Vk) ortonormaali joukko vektoreita avaruudessa R”. Os-
oita, että joukon vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

5. Oletetaan, että funktio f : R* — R toteuttaa ehdon f(ax + By) =
af(x) + Bf(y) jokaisella a, $ € R ja x,y € R". Osoita, että joukko

S =(x€R":/J(x)=0)

on aliavaruus.