Exam text content

= TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

 

MAT-20401 Vektorianalyysi
Tentti 12.5.2011

 

 

 

Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite on ohessa.
. Laske kentän F(z,y) = (1? + y?)i — xj käyräintegraali yli käyrän z? +4? =1
vastapäivään pisteestä (1,0) pisteeseen (0, 1).

. Olkoon R se zy-tason kolmio, jolla on kärkipisteinä (0,0), (1,0) ja (1,2).
Laske pinnan 2 = n? + 2y sen osan pinta-ala, joka on kolmion R yläpuolella
(ts. pinnan S = ((x,y,z) € R?: 2 =2?+2y, (x,y) € R) pinta-ala).

. Olkoon S kartion 2 = 4/t? + y? se osa, joka on tason 2 = 1 alapuolella. Laske
kentän F(z,y,z) = zi + yj + 2'k vuo pinnan $ läpi z-akselista poispäin.

f Feär,
a

kun F(z,y, 2) = (2+sin r)i+(z+y*)j+(y+e*)k ja C on kartion 2 = j/1? + 3?
ja tason 2 = 1/2 leikkauskäyrä suunnistettuna ylhäältä katsoen vastapäivään.

. Laske Stokesin lauseen avulla

Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan POPissa periodin 4/2010-2011 toteu-
tuskerran sivulla.
MAT-20401 Vektorianalyysi, tentin kaavaliite

- (1) VxVf=0

(2) V-(VxF)=0

(3) V(F-G) =Fx (Vx G)+Gx(VxF)+(F-V)G+(G-V)F

(4) V-(F x G)=G-(VxF)-F-(VxG)

(5) Vx(F x G)=F(V-G)- (F-V)G+(G-V)F — G(V-F)

(6) V(f9)=(Vf)g + fVg

(7) Ve(fG) = (Vf) -G+(V-G)

(8) Vx (fG) = (Vf) x G+f(Vx G)

(9) VIh(f(r))] = K'(f(r))Vf(r)

— r0 — T0) a(t) = IT*(| — lv x all
lix" (yll? Ia" llx"(e)1I v

ap =v, an =rv

— fr (00 op
A OIS
: f Pends= [| v-Faräi

OR R
f P+nds = [|] V-FdV
OT T

Fedr= [| (v x F)-ndS
os s
[ = psin dcos0

. T(f) n(t)

2

y=psindsind => drdydz = psinpdpdpd0
z = peosd

. N(6,0) = a? sin 4 (sin dcos0, sin dsin 0, cos 4), ||N(4,0)|| = a? sing

— 1+c0s(2t)

1 — cos(2t)
: 2

. sin(2t) = 2sint cost, sin? t = cos? t