Exam text content

MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 17.5.2010

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Olkoon T-jaksoisella funktiolla (1) Fourier-sarja
1 00
f()==49+ Ya, cosnot + b, sinnot),
2 n=1
missä »=2/T ja missä kaikki kertoimet ovat toistaiseksi tuntematto-
mia. — Johda eli päättele seuraavasti: integroi tuo yhtälö puolittain
T/2
[...dt ja oleta, että yhtälön oikea puoli saadaan integroida yhteen-
-T /2
laskettava kerrallaan. Päättele jokaiselle oikean puolen integraalille arvo
laskemalla se tai hyödyntäen integroitavan parittomuus. (Yhdelle kertoimista
pitäisi näin syntyä laskukaava.)

2. Laske funktion f(f) = cos(f) + sin(1) Fourier-sarjan kompleksiversiol-
le kaikki kertoimet

Cn =

1 d+T < 1 d+T d+T
— | fem dt=( [f(t)cos(not)dt-j | f(t)sin(nor) dr)
T a T 4 d

hyödyntäen integroitavan parittomuus ja jo(i)tain seuraavista:
2 sin(a) sin(b) = cos(a-b) — cos(a+b),
2 cos(a) cos(b) = cos(a-b) + cos(a+b),
2 cos(a) sin(b) = sin(a+b) — sin(a-b).

Muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-sarja

[= Yepe.

n=-0o

Käännä!
"jonas , maykkyntn € tut.fi

3 a) Kolmiopulssin esitys Fourier-integraalina

1+1 (-1<t<o) je [e
f(0)=)-1+1 (0<r<1) = —[ [ Fe JO" dr | el! do
0 (muulloin) 0 [-o

sievenee, kun sisempi integraali korvataan valmiiksi lasketulla pulssin
Fourier-muunnoksella F(jo)= sincKo/2). Tee tämä sievennys!

b) Edellä saadun integraalin likiarvo

1 %
[085 |... do

09

sievenee vielä lisää. Tee tämä sievennys mahdollisimman pitkälle! (Saa-
tavaa integraalia ei tarvitse yrittää laskea.)

Vihje: Parillisuus ja parittomuus ja origokeskinen väli.

4. Olkoon F(f(0)) = F(jo). Päättele Fourier-muunnos funktiolle

Ft) cos(myo?) sin(mot)

seuraavasti: esitä trigonometriset funktiot eksponenttifunktion avulla,
käytä lineaarisuutta ja taajuussiirto-ominaisuutta (yksi alla luetelluista).

Tiedetään, että A =cosx+j sin x,
J

joten e =cosx-jsinx ja e*+e=2cosx ja e&*-eP=2jsinx.

Ominaisuuksia: Jos F(f()) = F(jo), niin F(f((-7)) = jo) ja Fet fr =
FG(m-a)) ja F(FGN) =27f(-0).