Exam text content

MAT-20451 Fourier'n menetelmät Tentti 1.3.2011

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.
1. Olkoon T-jaksoisella funktiolla f(r) Fourier-sarja
1 00
f()= 37 + y (a, cosnof + b, sinnot),
n=1
missä »=21/T ja missä kertoimet ovat toistaiseksi tuntemattomia. Johda

eli päättele seuraavasti: integroi yhtälö

f(t) sin(20f) = + sin(20f)+

+ Y (a, cos(nor)sin(20r) + b,, sin(nor)sin(20r))

n=1
T/2
puolittain [...dt ja oleta, että yhtälön oikea puoli saadaan integroida
-T 12

yhteenlaskettava kerrallaan. Päättele jokaiselle oikean puolen integraalille
arvo hyödyntäen integroitavan parittomuus ja tieto

2 sin(a) sin(b) = cos(a-b) — cos(a+b).

(Yhdelle sarjan kertoimista pitäisi näin syntyä laskukaava.)

2. Laske funktion Fourier-sarjan kompleksiversiolle kaikki kertoimet
1 d+T a ] dT d+T

ep | f)0)e N dt=( | f(t)cos(not)dt-j [f(t)sin(not) dr)
Ta T a d

kun f(1)=|cos(t) |. Muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-
sarja

0 .

[()= Yepel".

n=-0
Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.
Vihje 2: Integroitava parillinen tai pariton ja reaalinen.
Vihje 3: 2 cos(a) cos(b) = cos(a-b) + cos(a+b).
Vihje 4: sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
Käännä!

 
3. Tunnetaan Fourier-muunnos F(jo) = 24Tsinc(oT) tasapulssille

A ([r|<r)

0 (muulloin) 4[80+7)-HG-7))

so-|

Päättele Fourier-muunnos

a) tasapulssille z(r) = H(1+2)— H(t-2),

b) ikkunoidulle sinille y(f) = sin(37) [H(t + 2) — H(t-2)],
e) ikkunoidulle sinille x(f) = sin(21) [H(t + 4) — H(0)].

Tiedetään, että N = cosx +jsinx,

joten e =cosx-jsinx ja e*+e=2cosx ja e*-e=2jsinx.

Ominaisuuksia: Jos F(f(1)) = F(jo), niin F(f(-7)) = IT j0) ja Fit K =
FG(m-a)) ja F(FGN3 =27f(-0).

4. Johda symmetriaominaisuuden avulla Fourier-muunnos
a) ensin funktiolle (1) = sine(4f),
b) sitten funktiolle g(f) = sine(4? — 20).

e) Sievennä b-kohdassa saadun muunnoksen amplitudi eli itseisarvo
mahdollisimman yksinkertaiseksi.