Exam text content

MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta. Tentti 15.2.2010.

Tehtävät 1-4 kuuluvat kurssin MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta tenttiin Tehtävät
1-5 kuuluvat kurssin 73050 Tilastomatematiikka tenttiin

Ei kirjallisuutta tai muistiinpanoja esillä. Laskin ja jaettava kaavakokoelma sallittu.
Palauta paperisi sille luennoitsijalle (siis oikeaan pinoon), jonka ryhmässä ole
suorittanut harjoituspaketin.

Erkki Pirttimäki, Risto Silvennoinen, Kimmo Vattulainen.

Tilastomatematiikan tentti Kimmo Vattulaiselle.

K a) Eräs sairaus esiintyy aikuisväestössä keskimäärin neljälläkymmenellä
tuhannesta. Määrää todennäköisyys, että satunnaisesti valitussa 30
aikuisen joukossa tämä sairaus on ainakin neljällä.

b) Olkoon A ja B saman otosavaruuden tapahtumia. Tiedetään, että

todennäköisyydet tunnetaan P(BMA)=0.2 ja P(A|B)=035.
Laske tapahtuman P(B) todennäköisyys.

K Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on
3/x* xza
f(x)=
x<a
a) Määrää a.
b) Määrää x:n odotusarvo E(x) ja varianssi var(x).

c) Määrää kertymäfunktio.

N Valtio X:n armeijassa on tutkittu varusmiesten painoa ja todettu että paino x
noudattaa normaalijakaumaa x-N(77, 6).
a) Määrää a>0 siten, että P(T7-a<x<77+4)=0.95
b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun neljän varusmiehen
yhteenlaskettu paino on välillä [300,320]?

 

4. Olkoon satunnaisvektori x = (x, y) tasan jakautunut yli aluein jp
A= [(.)] 0<ysfa,0<x<1).
a) Määrää satunnaisvektorin tiheysfunktio f(x, y). /
b) Määrää cov(x, y). [i
c) Määrää corr(x, y) .
Tehtävä 5 vain kurssin 73050 tilastomatematiikan tentissä.
5. Satunnaismuuttujasta x — N(u, 0?) on otettu 25 kappaleen otos.

Otoskeskiarvoksi saatiin 1.464 ja otosvarianssiksi saatiin s? =0.0081.
Testaa riskitasolla 0.05
a) nollahypoteesi Hy:4=1.5 vaihtoehtoa H, :471.5 vastaan

b) nollahypoteesi H,: 0?=0.0054 vaihtoehtoa H, : 0? > 0.0054 vastaan.
MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta
Tentti 31.1.2008

Ei kirjallisuutta tai muistiinpanoja esillä. Laskin ja jaettava kaavakokoelma sallittu.
Palauta paperisi sille luennoitsijalle, jonka ryhmässä ole suorittanut
harjoituspaketin

Erkki Pirttimäki: Risto Silvennoinen, Kimmo Vattulainen.

1. Yhdeksän henkilön joukosta (mukana henkilöt A, B ja €) valitaan kolmen
henkilön komitea satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä
a) A valitaan komiteaan,
b) sekäA että B valitaan komiteaan,
c) keskenään riidoissa olevat A ja C eivät tule molemmat valituksi?

2. ()Ampumahiihtäjän tauluunosumistodennäköisyys on 0.95. Mikä on
todennäköisyys, että viidestä laukauksesta ainakin 4 osuu tauluun.

(ii) Tuotteessa voi olla materiaalivika (A) tai käsittelyvika (B).
Olkoon P(A)=0.1, P(B)=0.06 ja P(AN B)= 0.005. Millä
todennäköisyydellä satunnaisesti valittu

a tuote on viallinen

 

tarkalleen yksi vika (C)?

3 Älykkyyden jakauman älykkyysosamääränä mitaten oletetaan olevan

Suomessa N(100,24%).

a) Yhdistykseen Mensa ry pääsee jäseneksi, jos älykkyysosamäärä on
korkeampi kuin 98 prosentilla ihmisistä. Mikä älykkyysosamäärä jäseniltä
siis vähintään vaaditaan?

b) Entä millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun suomalaisen

4. Olkoon satunnaisvektori x = (x, y) tasan jakautunut yli alueen €, joka on
kolmio, jonka kärkipisteet ovat (0,1), (1,0) ja (1,1) .

a) Määrää f(x, y).
b) Määrää cov(x, y).
c) Määrää corr(x, y) .
 

 

 

MAT-20500 TODENNÄKÖISYYSLASKENTA Tentti 2.2.2007

Valitse palautuspinoista oma luentoryhmäsi! Saat siten
mahdolliset laskuharjoituspisteet huomioitua!

  

   

Pinot:

Silvennoinen: $, Au,

Vattulainen: 1 ja 2 periodi,
Pirttimäki:B, Ti,Tle

73050 Tilastomatematiikka ("vanhat")

 

 

Todennäköisyyslaskenta: tehtävät 14 .
Tilastomatematiikka: tehtävät 2-6

Kaavakokoelma jaetaan, laskinta saa käyttää.

1 (09) Arpajaisissa on 500 arpaa. Voittoarpoja on 1kpl 500e, 2kpl
200e, 2kpl 100e, 10kpl 10e. Ostetaan yksi arpa, laske voiton
odotusarvo. Tee tämän perusteolla ehdotus arvan sopivaksi
hinnaksi.

(ii) — Neljän munkin ja kuuden viinerin joukosta valitaan
tunnaisesti kuusi tuotetta. Millä todennäköisyydellä
saadaan neljä viineriä ja kaksi munkkia.

 

    

  

2. — Älykkyyden jakauman älykkyysosamääränä mitaten oletetaan

 

 

a) Yhdisty ry pääsee jäseneksi, jos älykkyysosamäärä on
korkeampi kuin 98 prosentilla ihmisistä. Mikä älykkyysosamäärä
jäseniltä siis vähintään vaaditaan?

b) Entä millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun suomalaisen
älykkyysosamäärä on ainakin 120?

   

 

   

 

3. — Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on
4
3/x 2
((9= x=2
o x<a
a) — Määrää a.
b) — Määrää x:n odotusarvo E(x) ja varianssi var(x).

Olkoon satunnaisvektori x= (x, y) tasan jakautunut yli alueen
2 = (x,y) 0O<y<2,y<x<2).

a) — Määrää satunnaisvektorin tiheysfunktio f(x, y)

b) — Määrää cov(x, y).

0 — Määrää corr(x, y) .

  
 

Satunnaismuuttujasta x N(u,0?) otottiin 14 riippumatonta

 

havaintoa. Otoskeskiarvoksi saatiin 18.0 ja otosvarianssiksi 9
Määrää odotusarvon 95 % luottamusväli ja varianssin o

90 % luottamusväli.

E

Leipomo leipoo ruislepiä, joiden painon se sanoo olevan vähintään
500 g. Oletetaan, että paino noudattaa normaalijakaumaa
Punnitaan 25 ruisleipää (satunnaisesti valittu) ja saadaan
otoskeskiarvoksi 490 g ja otosvarianssiksi 250 g".

Testaa 5 % riskitasolla nollahypoteesia Hp: 2500, kun
vaihtoehtoinen hypoteesi on Hj: <500 .
MAT-20500 TODENNÄKÖISYYSLASKENTA.
31.01.2006

Silvennoinen:Ti,Tle

Vattulainen:1 ja 2 periodi

— Pirttimäki:S, Au

* Kaavakokoelma jaetaan, laskimia saa käyttää

I

a) Neljän munkin ja kuuden viinerin joukosta valitaan
satunnaisesti viisi tuotetta. Millä todennäköisyydellä
saadaan kolme viineriä ja kaksi munkkia.

1)] Vakuutusyhtiö myöntää urheilukilpailujen järjestäjälle

sadevakuutuksen, missä maksettava korvaus riippuu kilpailun

loppua edeltävän 12 tunnin sademäärästä seuraavasti:

 

0-2
3-5
6-10
1'1=

 

Sademäärä (mm) (todennäköisyys korvaus (euroa)

0.5

0.3
0.15
0.05

5 000
10 000
30 000

 

 

Määritä korvauksen odotusarvo.

() Saman otosavaruuden tapahtumien A ja B todennäköisyydet
tunnetaan P(A) = 0.6, P(B) = 0.4. Lisäksi tiedetään, että

P(ANB)=02.

Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
a) AUB, b) ANB . Ovatko A ja B riippumattomia?

(ii) — Heitetään noppaa kuusi kertaa. Millä todennäköisyydellä silmäluku
kolme esiintyy kaksi kertaa?

Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on muotoa

4
£(x)= a/x" x22
o muulloin
a) Määrää a
b) Laske E(x).
c) Määrää x:n varianssi.

Sahalla mitattiin 12 lankun paksuus. Oletamme että paksuus

noudattaa normaalijakaumaa..

Otoskeskiarvoksi saatiin 2.06 ja otosvarianssiksi 0.03. Testaa
nollahypoteesia H,:4=2.13 vaihtoehtoista hypoteesia H,:u4<2.13

vastaan riskitasolla «= 0.05. Määrää kriittinen alue. Määrää myös p-
arvo (pienin riski, jolla H, voidaan hylätä).