Exam text content

MAT-31080 Kompleksimuuttujan funktiot
2. Välikoe 9.12. 2010 klo 12-14.

Sarja A

Ei muistiinpanoja, laskimia, taulukoita. Kirjoita koepaperiin
nimesi, opiskelijanumerosi ja koulutusohjelmasi. Vastaukset
perusteltava.

1. a) Kirjoita Cauchyn integraalikaava.
b) Kirjoita Cauchyn integraalikaava funktion derivaatoille
c) Laske integraali

f cos(z) Ja
S

AZ +

kun integroimistie S on origokeskisen yksikköympyrän kehä.

2. a) Millä ehdoilla funktiolla f(z) on pisteessä a Laurentin sarja ?
b) Miten Laurentin sarjasta voi päätellä sen onko funktiolla napa
pisteessä a ja navan kertaluvun ?

 

c) Muodosta funktion Laurentin sarja pisteessä -1.

UZ +
3. Laske integraali

2n 1
NINNA
0 2 >
cos(o) s
4. Määrittele funktion f(t) Laplace-muunnos F(s). Millä ehdoilla se on

olemassa ? Johda kaavat funktion derivaatan f (t) ja toisen
derivaatan f "(t) Laplace-muunnoksille.