Exam text content

MAT-41150 Algebra I (s). Välikoe 1.
13.4.2010 salissa S4. Esko Turunen

Tehtävä 1

Määritellään R?:ssa relaatio R siten, että (a,b) R(c, d) jos, ja vain
josa—c€Z. Todista, että R on ekvivalenssirelaatio. Entä onko R
yhteensopiva R?:n laskutoimituksen (a, b) + (c,d) = (a + c,b + d)
kanssa?

Tehtävä 2

Osoita, että joukko (1, —1,4, —i) varustettuna kompleksilukujen ker-
tolaskulla on ryhmä. Muodosta tämän ryhmän kertotaulu.

Tehtävä 3

Osoita, että ryhmähomomorfismi v : G > G" on injektio täsmälleen
silloin, kun ker(v) = e.

Tehtävä 4

Olkoon G syklinen ryhmä virittäjänä a ja kertalukuna 12, siis G =

(e, a, a?,---,a!!). Olkoon H alkion a? virittämä G:n (syklinen) aliryhmä.
a) Määrää aliryhmän H alkiot. b) Kuinka monta alkiota tekijäryhmässä
G/H on? (c) Määrää tekijäryhmän G/H alkiot.

Tehtävä 5

Esitä ja todista ryhmien isomorfialause.

EI LASKIMIA EIKÄ KIRJALLISUUTTA!