Exam text content

MAT-53101 Numeerinen analyysi 2 tentti 3.5.2010
MAT-53107 Numerical Analysis 2 Exam 3.5.2010

Tentissä saa käyttää tavallista tai graafista/ohjemoitavaa laskinta ja yhtä käsinkirjoitettua
kaksipuolista A/-paperia muistiinpanoja. Laskuissa välivaiheet on kirjoitettava näkyviin.

You are allowed to use a plain or graphing/programmable calculator and one handwritten
two-sided A/ sheet of notes. Show all calculation steps.

1. IEEE-perustarkkuusliukulukujärjestelmän tunnusluvut ovat (6,t, L,U) =
(2,23, 126, 127). Mikä on suurin positiivinen normaalisoitu liukuluku tässä järjestelmässä?
Todista, että jos Z on lukua x = 127 lähin oleva IEEE-perustarkkuusliukuluku,
niin [22] <2"%.
The IEEE single precision floating point number system has (8,1, L,U) = (2,23, 126, 127).
What is the largest positive normalised finite number in this system? Prove that if
Z is the IEEE single precision number that is closest to x = 1277, then | =] GAD

 

 

2. Encken satelliitin radan laskumenetelmä vaatii funktion

—(1—92)-3?
jay

T
evaluoinnin. Etsi sarjaesitys, joka mahdollistaa funktion laskemisen tarkasti pie-

nellä x. Montako termiä osasummasta antaa 4 oikeaa desimaalia, kun -5 Ins

115? Vihje: (1+ 2)? = 1+pz + 28-12? + PPP 73 4... kun |2| <1.
Encke's method for computing the orbit of a satellite reguires the evaluation of

the function 1—(1—20)-30
—(1-2x
Ja)="t—
Find a series representation that allows the function to be computed accurately
for small z. How many terms of the partial sum will give an approximation with
4 correct decimals for —% < x < 3? Hint: (1+ 2)? = 1+p2+ elp=1) 72 t
2pD833 4... for all || < 1.

 

3. Laske monimuuttujaisen Newtonin ja Raphsonin menetelmän kaksi iteraatiota
yhtälöryhmän 32? = 2, 47123 = 23 + 1 ratkaisemiseksi lähtien alkuarvosta

t=|]].

Perform two iterations of the multivariable Newton-Raphson method to solve

S naan 1
31? = r3, 47,23 = x) + 1 with initial iterate x!!! =

 

jatkuu sivun toisella puolella / continued on other side
4. Johda interpoloivan kuutiosplinin yhtälöt

[= 3hisi(fi— fina) | 3hi(fir1 — fi)

Tx = (i € £1,....n—1))

 

his191+2hi+his1)9+hidin

Vihje: Hermiten kuutiopolynomi, joka interpoloi f; = f(x;) ja g; = f'(z;), noudat-
taa välillä 7; ; < x < x; kaavaa

5(x) = (1+24)(1— wu) fi1 + (3— 2u)u2 fi + w;(1 — W)higi1 + (ui — Vu2higi,
jossa h; = x; — ;1 ja W = (T— 7;-1)/hi.
Derive the interpolating cubic spline's eguations

3hisi(fi- Jin) 3hlfin — fi)

n na (i € [1,...,n-1))

Nis191+U0i+hii1)9+higiii =

Hint: the Hermite cubic polynomial that interpolates f; = f(x;) and 9; = f'(z;) is
defined on the interval x; 1 < x < x; by the formula

8(z) = (1+24;)(1 — W)? fi1 + (3 — 2ui)u2 fi + W;(1 — ui)?higi-1 + (wi — 1)u2higi,

where h; = x; — x;1 and u; = (x — x;-1)/hi.