Exam text content

SMG-5200 — Verkkolaskennan numeeriset menetelmät
Tentti 13.5.2008 Risto Mikkonen

 

Laskimen käyttö sallittu

J Mitä tarkoitetaan graafin G asteella ja nulliteetilla ja mikä on niiden merkitys verkkoanalyy-

sissa? Mitä siis saat irti nulliteetin avulla oheisesta verkkoa kuvaavasta graafista?

6
W

2. Muodosta piirimatriisin B avulla matriisiyhtälö silmukkavirtojen 1, I» ja 13 ratkaisemiseksi.
Ratkaise yhtälö Jacobin menetelmällä alkuarvauksesta I= [1 1 1]* lähtien. Kaksi iteraatiota
riittää. Todenna spektrisäteen avulla, että iteraatio konvergoi.
Ri=R2=Rs=292,R4=R5=R6=10,E;=1 V,E2=2 V,B3=3V

 

3. Määritä oheisessa kytkennässä kuvaan merkitty potentiaali U kahden desimaalin tarkkuudel-

la, kun epälineaarinen lähde 7 (U) noudattaa yhtälöä 1=2". E=3 V ja R=0.50.

 

 

KÄÄNNÄ!
Vastuksen virta noudattaa ajan funktiona seuraavaa yhtälöä

di

PIN i(£)+sin(f)

Määritä trapetsialgoritmia käyttäen vastuksen yli oleva jännite ajanhetkellä ? = 1 s, kun vas-

tuksen resistanssi R =2 €. Käytä askelpituutena h = 0.5 s.

Etsi optimiratkaisu verkon jännitteelle U, kun optimointitehtävä on
max(U) = 1201, +100i,

ehdoilla

2i, +2i, <8
Si +35, <15

i, i, 20

Paljonko kohdefuntioin kerroin 120 voi muuttua optimiratkaisun muuttumatta?
SMG-5200 — Verkkolaskennan numeeriset menetelmät

Tentti 26.11.2007 Risto Mikkonen

 

1a)

15)

2a)

20)

Verkossa on 20 solmupistettä, jotka kaikki ovat keskenään yhdistetty. Mikäli verkko ratkais-
taan piirimatriisia B hyväksikäyttäen, kuinka monta yhtälöä tarvitaan?

Mitä tarkoitetaan graafin nulliteetilla, ja mikä on sen merkitys verkkolaskennan kannalta?

Yhden kondensaattorin ja yhden kelan muodostamassa LC piirissä ominaiskulmataajuus

Määritä kulmataajuuden herkkyys sekä Z:n että C:n suhteen. Mitä havaitset?
Fräälle tasavirtalaitteelle on muodostettu Theveninin ekvivalentti, jolle Er = 10 V ja Rr=3
O Laitteen napoihin kytketään kuorma, jonka resistanssi R, =2 2 (+ 10 %). Määritä pahim-
man tapauksen analyysillä kuorman maksimiteho.
Epälineaarisen piirin sisäänmenovirta i ja ulostulojännite v noudattavat yhtälöitä
Inv-i+0.5=0
v? -iv- 0.6875=0
Ratkaise suureet lähtemällä alkuarvosta (v", P) = (2, 2) ja iteroi kolme kierrosta.
Laske oheiselle piirille solmujännitteet hetkellä ? = 0.2 s käyttäen askelpituutena h = 0.2 s.

Käytä kondensaattoreille implisiittisen Euler-algoritmin mukaista sijaiskytkentää. Piiri on
alkujaan levossa. J. =1 A, 9 =7 A,Gi=28,G,=58S,C1=3F,C>=4 jaC3s=6F.

 

O |Am| O

2 KÄÄNNÄ!
10 G, Ci = = G O»

 

 

 

 

 
5.

Etsi optimiratkaisu verkon jännitteelle U, kun optimointitehtävä on
max(U)=120i +100i,
ehdoilla

2i, +2i, <8
5i, +3i, <15

i, 1, 20

Paljonko kohdefuntioin kerroin 120 voi muuttua optimiratkaisun muuttumatta?
SMG-5200 — Verkkolaskennan numeeriset menetelmät
Tentti 1.10.2007 ) Risto Mikkonen

1. Verkkoa kuvaavan graafin insidenssimatriisi

-1 0 0 1 0 1
4=|10 -1 0 -1 1 0
0707-10-21

ja piirimatriisi

1 -1x 1 0 0
B=|10 -11 0 y 0
0 0 0-1 -1

Määritä piirimatriisin alkiot x, y ja z sekä esitä verkkoa kuvaava graafi runko- ja sulkuhaa-

roineen. Määritä edelleen graafin leikkausmatriisi O

2. Pariston napoihin on kytketty vastukset Ri =2 0 (+ 10 %) ja R, = 040 (+5 %) rinnan.
Mikä on Roz:n dissipoiva maksimiteho pahimman tapauksen analyysillä, kun pariston lähde-

jännite E = 10 V ja sisäresistanssi R, = 0.5 0?

3. Kapasitanssi voidaan esittää jänniteohjattuna virtalähteenä oheisen kuvan mukaisesti. Johda
dynaamisen jänniteohjatun virtalähteen aikatason sijaiskytkentä trapetsialgoritmia hyväksi-

käyttäen.

 

KÄÄNNÄ
4

Laske oheisen piirin DC toimintapiste eli solmujen 1 ja 2 jännitteet Newton-Raphson algo-"

ritmiin nojautuen. Aloita iterointi jännitearvoilla VY = [ Vi", V?]*=[1,0]" ja laske neljä
iterointikierrosta. J= 15 A, Gi =G Si S, G, =2S. Epälineaarinen virtalähde I (U), U2) =
(U)? + Uz (eli siis sama kuin (V)* + V2) ).

 

 

 

Selitä lyhyesti seuraavat käsitteet

o

a) pisteen v aste d(v); graafin G aste p(G)
b) OR -hajotelma

0) konjugaattigradienttimenetelmä
SMG-5200 — Verkkolaskennan numeeriset menetelmät

Tentti 23.5.2007 Risto Mikkonen

 

2a)

2b)

W

Määritä oheiselle verkolle täysi insidenssimatriisi A, piirimatriisi B ja perusleikkausjoukon
leikkausmatriisi O. Miten nämä kytkeytyvät Kirchhoffin lakeihin? Mitä tarkoitetaan edel-
leen graafin pisteen v asteella d(v) ja graafin G asteella p(G)? Mikä on kyseistä verkkoa ku-
vaavan graafin nulliteetti ja miten tämä käsite kytkeytyy piirilaskentaan?

Rs

Ca 15
J S R TG

 

 

 

 

 

Määritä kulmataajuuden herkkyys sekä 7:n että C:n suhteen. Mitä havaitset?

Eräälle tasavirtalaitteelle on muodostettu Theveninin ekvivalentti, jolle 7; = 10 V ja Rr=3
O. Laitteen napoihin kytketään kuorma, jonka resistanssi R, =2 (+ 10 %). Määritä pahim-

man tapauksen analyysillä kuorman maksimiteho.

Määritä oheisessa kytkennässä kuvaan merkitty potentiaali U kahden desimaalin tarkkuudel-

la, kun epälineaarinen lähde / (U) noudattaa yhtälöä / =2". £=3 V ja R=0,5 0.

$

 

 

 

 

KÄÄNNÄ!
Vastuksen virta noudattaa ajan funktiona seuraavaa yhtälöä

di(t) >. :
—=i(1)+sin(f

TT! )+sin(r)
Määritä trapetsialgoritmia käyttäen vastuksen yli oleva jännite ajanhetkellä £ = 1 s, kun vas-

tuksen resistanssi R =2 O. Käytä trapetsialgoritmissa askelpituutena h = 0.5 s.
Tee selkoa seuraavista verkkolaskennassakin usein käytetyistä optimointialgoritmeista:
a) jyrkimmän vierron menetelmä

b) konjugaattigradienttimenetelmä

e) Kvasi-Newton menetelmä