Exam text content

MAT-01210 Insinöörimatematiikka A2 / Kaarakka
Tentti 2, 13.2.2017

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tehtävässä 2 riittää pelk-
kä vastaus. Tentissä ei saa käyttää muistiinpanoja, kirjallisuutta eikä laskinta. Kirjoita kaikkiin
papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Muistathan antaa pa-
lautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi opintosuorituksen. Kaavat kääntöpuolella.

1 0 2 2 2 1 1
1. Tarkastellaan matriiseja A= | 2 0 5! jaB=|1 2 0 1
0 2 6 0 3 0 2

(a) Laske, jos mahdollista, 24B ja 3BA. Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele

miksi.
(b) Laske, jos mahdollista, A*!. Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele miksi.

(c) Laske, jos mahdollista, det( A). Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele miksi.

2. Vastaa lyhyesti (a)-(f) kohtien kysymyksiin. Jokaisen kohdan oikeasta vastauksesta saat
yhden pisteen, väärästä vastauksesta vähennetään puoli pistettä ja vastaamatta jät-
täminen on nolla pistettä. Tehtävän kokonaispistemäärä ei kuitenkaan mene negatiiviseksi.

Tarkastellaan 3 x 3-matriisia A, jolle det(A) = 3.

(a) Onko matriisi A kääntyvä?
(b) Mikä on matriisin A sarakeavaruuden dimensio dim(R(A))?
(c) Kuinka monta ratkaisua matriisiyhtälöllä Ax = b on, kun b € R3?
(d) Mitä on det(2A) — det(247')?
(e) Ovatko matriisin A sarakkeet lineaarisesti riippuvia?
(f) Onko rref(A4) = 1?
1 2 5 3
3. Olkoot tason kolme pistettä | 1|,|0]| ja 1|.Mikäon pisteen |2 | etäisyys tästä tasosta?
1 3 -1 1
1 0 0
4. (a) Olkoon A= | 0 1 1 |. Etsi matriisin A ominaisarvot.
0 —2 4
-1 0 0
(b) Tarkastellaan matriisia B = 0 1 2 |, jonka eräs ominaisarvo on —1. Etsi ominai-
021

sarvoa —1 vastaava ominaisavaruus.

(c) Esitä matriisi C' tulona PDP7', missä D on diagonaalimatriisi, kun matriisin C' ominai-

sarvot ovat A, = 1 ja Ao = As = —2 ja ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat
1 1 TI
E, = span -1 ja E > = span TJ 0

1 0 1

 
=

10.

11.

12.

Insinöörimatematiikka 2

Kaavakokoelma

lvl] = Vv-v

u-v
cos(0) = ——

lulili vi!

€1 eo €3
UXV=|WU U U3

v Va V3

. u:v

Oj, (V) = u
Projy(V) =
n:(x—p)=0

x=p+su+itv
(AB) = BTA", (AB)! = BA", (AT)? = (479T

d +

—C a

 

 

1
a b E, 1
c d — ad-bc

 

det (A) = Yl-DHaj det(A;;)
j=1

Ax = Ax, det(4—A1)=0

VIAV=D&A=VDV"

AT Ax = Alb