MAT-01210 Insinöörimatematiikka A2 / Kaarakka
Tentti 2, 13.2.2017
Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tehtävässä 2 riittää pelk-
kä vastaus. Tentissä ei saa käyttää muistiinpanoja, kirjallisuutta eikä laskinta. Kirjoita kaikkiin
papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi ja myös koulutusohjelmasi. Muistathan antaa pa-
lautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi opintosuorituksen. Kaavat kääntöpuolella.
1 0 2 2 2 1 1
1. Tarkastellaan matriiseja A= | 2 0 5! jaB=|1 2 0 1
0 2 6 0 3 0 2
(a) Laske, jos mahdollista, 24B ja 3BA. Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele
miksi.
(b) Laske, jos mahdollista, A*!. Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele miksi.
(c) Laske, jos mahdollista, det( A). Jos laskeminen ei ole mahdollista, niin perustele miksi.
2. Vastaa lyhyesti (a)-(f) kohtien kysymyksiin. Jokaisen kohdan oikeasta vastauksesta saat
yhden pisteen, väärästä vastauksesta vähennetään puoli pistettä ja vastaamatta jät-
täminen on nolla pistettä. Tehtävän kokonaispistemäärä ei kuitenkaan mene negatiiviseksi.
Tarkastellaan 3 x 3-matriisia A, jolle det(A) = 3.
(a) Onko matriisi A kääntyvä?
(b) Mikä on matriisin A sarakeavaruuden dimensio dim(R(A))?
(c) Kuinka monta ratkaisua matriisiyhtälöllä Ax = b on, kun b € R3?
(d) Mitä on det(2A) — det(247')?
(e) Ovatko matriisin A sarakkeet lineaarisesti riippuvia?
(f) Onko rref(A4) = 1?
1 2 5 3
3. Olkoot tason kolme pistettä | 1|,|0]| ja 1|.Mikäon pisteen |2 | etäisyys tästä tasosta?
1 3 -1 1
1 0 0
4. (a) Olkoon A= | 0 1 1 |. Etsi matriisin A ominaisarvot.
0 —2 4
-1 0 0
(b) Tarkastellaan matriisia B = 0 1 2 |, jonka eräs ominaisarvo on —1. Etsi ominai-
021
sarvoa —1 vastaava ominaisavaruus.
(c) Esitä matriisi C' tulona PDP7', missä D on diagonaalimatriisi, kun matriisin C' ominai-
sarvot ovat A, = 1 ja Ao = As = —2 ja ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat
1 1 TI
E, = span -1 ja E > = span TJ 0
1 0 1
=
10.
11.
12.
Insinöörimatematiikka 2
Kaavakokoelma
lvl] = Vv-v
u-v
cos(0) = ——
lulili vi!
€1 eo €3
UXV=|WU U U3
v Va V3
. u:v
Oj, (V) = u
Projy(V) =
n:(x—p)=0
x=p+su+itv
(AB) = BTA", (AB)! = BA", (AT)? = (479T
d +
—C a
1
a b E, 1
c d — ad-bc
det (A) = Yl-DHaj det(A;;)
j=1
Ax = Ax, det(4—A1)=0
VIAV=D&A=VDV"
AT Ax = Alb