Exam text content

MAT-01310 Insinöörimatematiikka A3. Tentti 11.6.2019. Antti Vuorimäki

Sallitut välineet: Ainoastaan kirjoitusvälineet. Ei laskimia eikä taulukoita!
Liitteet: Tämän kysymyspaperin kääntöpuolella on kaavakokoelma.

Vastausohje: Laskutoimitukset on perusteltava ja kaikki olennaiset välivaiheet esitet-
tävä. Käytä luonnosteluun erillistä suttupaperia, jotta varsinaisesta vastauksestasi tu-
lee siisti. Vedä vastauspapereissa "henkselit" sellaisten merkintöjen yli, joita et halua
arvosteltaviksi. Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaisen vastauspaperin yläosaan.

Arvostelu: Kukin tehtävä arvostellaan pistein 0...6. Tehtävien alakohdat (a, b, jne.)
ovat keskenään tasa-arvoisia, ellei toisin mainita. Malliratkaisut ja osallistuneiden tehtä-
väkohtaiset pisteet julkaistaan toteutuskerran Moodle-sivulla korjaamisen valmistuttua.

1. Laske N
1
31 —— 5 17.
/ x ln x dz, ”/ = dx

2. a) Ratkaise alkuarvotehtävä — x? + z?y = x*, y(1) = 0. (Muista kertoa myös,
millä välillä laskemasi y on ratkaisu.)
b) Laske yhtälön =” —2y'=sin(4x) — yleinen ratkaisu.

00

2 n
3. a) Tutki, suppeneeko vai hajaantuuko sarja > E

n!

 

b) Muodosta Maclaurinin sarja funktiolle arctan(z) (2 p.) ja esitä siitä menetelmä m:n
arvon laskemiseksi (1 p.).

p 1
4. a) Määritä käyrän y= - + a pituus välillä 2 < x < 4.
x
b) Laske funktion (1+ x)? binomisarjaesityksen neljä ensimmäistä termiä, kun —1 <

a <1.
MAT-01310 Insinöörimatematiikka A 3 / Vuorimäki 2019 / Kaavoja

 

 

 

 

 

 

 

 

1. fe) J 704
tan(z) . — In | cos(z)| + C
cot(z) = In | sin(z)| + €
—n tan(z) + C
5 — cot(z) + 0
= arcsin(z) + C
N a arctan(z) + C
—= arsinh(z) + C= In (+V? +1) + C
= ; arcosh(z) + C= In [2 + Va? —1]+C
= artanh(2) +0= 51 |7 5] +0

 

b b b
2. s-[ V1+ f(z)? dz, 4=2 | [f(2)|/1 + F/(z)? dz, v=rf f(z)? dx

3. sin?%(z) = H1— cos(27)), cos*(z) = H1+ cos(2x))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»X 1
4. Jos Yy ad" suppenee, niin S=
k=1
n
N Ola) ' k 0 (€) N n+1 1 0; On
> 0-2 m ed + me 9: RI Him
zi > yk
6 Polteta + tss) (x € R)
k=0
: 7 2 2! = (1 2k+1
SG to t.uin = R
sil) =e-5+g 7 2 017" ja =
o at as (015 o
0) =1- 3 +7-g+* =) Gps (z € R)
A (k
(ra)! 3) (1) (keR,-1<z<1)
n=0

(] tn kunn>1 ja (5) =