Exam text content

 

- Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta
Muista, että jokaisessa tehtävässä pisteet tuievat perusteluista eikä arvauksista.

Olkoon f(x, y, 2) == zy? — x? ja piste A = (2,—1,3).

a) Mihin suuntaan funktio f kasvaa voimakkaimmin pisteessä 4?

b) Viivan (tai radan) r(£) tangenttivektosi r'(1) = (1,—1/2,4+ 4019).
Paljonko on derivaatta v hetkellä ? = 2, kun radalla ollaan pisteessä r(2) = 4?

€) Pisteet (x, y, z), jotka toteuttavat ehdon f(x, y, z) = f(2,—1,3), muodostavat pinnan. Mi-
kä on tuon pinnan taagenttitaso pisteessä A?

Jos pisteestä (1,2) lähdetään kokii pistettä (2, 2), niin funktion f suunnattu derivaatta on 2.
Jos pisteestä (1, 2) lähdetään kohti pistettä (1, 1), niin funktion f suunnattu derivaatta on —2.
Paljonko on suunnattu derivaatta, jos pisteestä (1, 2) lähdetään kohti pistettä (4, 6) ?

Etsi funktion
J: fy) = Cy 1 (7 + y?—4)

suurin ja pienin arvo rajoitetussa alueessa
9 = (x, y)|x? + y? < 4).

Esitä myös kohdat, missä ne saavutetaan.

Laske

JI]

kun 7 = f(x, y, z)| 0<x < /1- 7? -1<y<l.x<z7<l+x?+y"%).

 

Tentin tulokset ja kokonaisarvosanat julkaistaan ensin Moodlen osiossa Tentit. Sisuun tulokset
rekisteröidään myöhemmin, kun tarpeeksi moni on nähnyt tuloksensa.
FYS.103 Yliopistofysiikka 3, syksy 2022 (Paavilainen) 1/2
Tentti 21.10.2022

o Kokeessa saa käyttää laskinta, mutta se ei saa olla ohjelmoitava.

& Kokeessa saa olla mukana itse käsin kirjoitettu lunttilappu (yksi A4, molem-
mat puolet). Lunttilappu tulee palauttaa koepaperin mukana.

e Kääntöpuolella kaavoja ja val.ioita

*condensaattorin levyt ovat ympyränmuotoisia (säde 12.0 cm) ja levyjen välinen etäisyys
on 0.15mm. Levyjen välinen tila on täyteity eristeellä, jonka eristevakio K = 2.25. Levyillä
on veraukset +0 ja —0, missä (0 = 3.4 - 109C.

a) Laske kondensaattorin kapasitanssi.

b) Kitinka suuri sähkökenttä levyjen välissä on?

o) Eristemateriaali ei ole täydellinen eriste vaan sen resistiivisyys on 2.5 « 109 m. Laske vir-
rantiheyden suuruus eristeen läpi, kun varans alkaa purkautua sen läpi levyltä toiselle.

 

  

(2) Kuvan pistevaraukset gi = +1.60 nC ja ga = +2.50 nC ovat B
paikoillaan etäisyydellä 4.0 cm toisistaan.
a) Laske varausten gi ja ga aiheuttama sähkökenttä pisteessä

 

A. Ilmoita myös sähkökentän suunta 5

b) Laske työ, jonka varausten gi ja g> aiheuttama sähkö- S

kenttä tekee kolmanteen pistevaraukseen go = —0.055 nC,

kun go siirtyy pisteestä A pisteeseen B. o A -0

2.0cm 2.0cm G

 
 

G) ”utkit kelaa, jonka poikki aus on ymry auotoimen sätoen ollessa 2.N em. Kelassa on
50 kier; osta. Kela on % sa magneettikentässä, jonka suuruus muuttuu ajan funktiona:
B(t) = (3.0 mT/?)£*. Kelan tason pintavektori on magneettikentän suuntainen. Laske kelaan
indusoituneen emf:n € (eli sähkömotorisen voiman) suuruus hetkellä t = 5.0 s.

     

(4) Pitkässä, suorassa johtimessa 1 (punainen) kulkee vierei-
sen kuvan mukaisesti virta 1, = 4.00A 7-akselia pitkin
positiiviseen z-suuntaan (paperista ulospäin).

a) Laske I 1 aiheuttaman magneettikentän B,
suuruus etäisyyd-llä 2.0 cm johtimesta. Voit käyttää val-
mista kaavaa tai johtaa lausekkeen Ampären lain avulla.
5)

b) Mihin suuntaan magneettikenttä By osoittaa kuvan pisteessä a? (1p)

€) Johtimessa 2 (puoliympyrä a — b) kulkee virta I» = 2.00A kuvan mukaiseen suuntaan.
Laske johtimeen 2 kohdistuvan (B, aiheuttaman) magneettisen voiman suuruus. (3p)

6) Selitä lyhyesti (4-6 riviä/kohta riittää).
a) Ferromagneettista materiaalia laitetaan suoran solenoidin sisälle. Aluksi materiaalin mag-
netisaatio on noila, eikä solenoidissa kulje virtaa. Selosta miten magneettikenttä materiaalin
sisällä muuttuu, kun solenoidin virta kasvaa ajan funktiona. Miten suhteellinen permeabili-
teetti liittyy asin?
b) Tutkit r-säteistä pallopintaa, jonka sisällä on vain yksi, positiivinen pistevaraus g. Jos pis-
tevaraus on pallon keskipisteessä, sähkökentän vuo f E-dÄ pinnan läpi voidaan kirjoittaa
muodossa P4nr”, missä & on pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän suuruus. Perustele
matemaattisesti, miten tämä onnistuu.

 
 

FYS.103 Yliopistofysiikka 3, kaavakokoelma 2/2

9 = 9.80m/s?

€o = 8.854 x 102 (?N-1m?
Ho 4 x 1077 TmA!

€ = 1.602 x 1010

me = 9.109 x 109! kg

kp = 5.788 x 105 eV/T

k =1.381 x 109 J/K

 

A xB= (A,B. — A,B,Ji + (A,B, — A,B)f + (4,1, — A,B, || Pallo: A= 4772, V= 373

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p. WIxr
4n r?
&I 1] 0700!
4. = < u==eP"| 5 = WIdlxf
meit] 800 —- [8-88]
C= KOolle = Ku
= B= 0! B= [nl]
—d0 3o 1] 2ar | -—
dt ||' A!
= Tn
J =ngvg|| = p |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V=1R|[P= Vol]

- = > Tin = 5 Tout
1 g 1 dg

 

 

 

 

 

 

 

N |
= de ) ]
N dt enci

Sa

i 0]
a m

jvsf] |

&

II

=

O

-

s

-

n

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= amor! ara J Tr XV =0 NoO2 | di;
L - M=21=-[|8,= MT
Was = 40(Va — Va) = Ua - W n it L

 

 

 

 

 

g=C8(1—e/80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; Nän di
Va=V-W=[ Bdl [F-16-5B+5) 1207 |8=-tx
-—< <-> > | 1 Bp?
= 1 a = . =" LPllm:= <
Eo (MG ||&n [ 5.44 V= 31P||u =>

Ox Oy Oz |]
o z dP=1d x B|/?=nixB i =i10 0
C= C= R -
ab -