041 MN
5
X TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO
MAT-20401 Vektorianalyysi
Tentti 25.7.2011
Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite on ohessa.
. a) Olkoon F(z,y,z) = xevi + ye?k. Laske seuraavista ne, jotka voidaan
laskea (eli jotka ovat hyvin määriteltyjä). Jos ei voida laskea, niin perustele
lyhyesti, miksi ei voida.
V-(V-F), V-(VxF) Vx(V-F) Vx(vxF)
b) Laske V-r9r (kun r = zi + yj + 2k jar on vektorin r pituus).
. Olkoon F(z,y) = (y — x,2x — y) ja C kiekonpuolikkaan 0 < y < V25— 2?
reuna suunnistettuna vastapäivään. Laske
[ x:
G
. Olkoon $ kartion 2 = V/a2 + 3? se osa, joka on pintojen 2 = 1 ja 2 = 4
välissä. Laske funktion f(z,y, 2) = x? pintaintegraali yli pinnan S.
. Olkoon F(z,y, z) = 2xi — 2yj + Pk ja
T = ((z,y,2) ERP: 2? +? <4,0<z<h).
Totea Gaussin lauseen (eli divergenssilauseen) paikkansapitävyys tässä ta-
pauksessa laskemalla lauseen molempien puolien integraalit.
Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan POPissa periodin 4/2010—2011 toteu-
tuskerran sivulla elokuun puoliväliin mennessä.
o
. sin(2t) = 2sint cost, sin? (=
MAT-20401 Vektorianalyysi, tentin kaavaliite
- (1) Vx vf=0
(2) V*(VxF)=0
(3) V(F-G)=Fx(VxG)+ € x (VxF)+(F-V)G+(G-V)F
(4) V-(F x G)= € ven, «(Vx G)
(5) Vx (FxG)= dy V)G + (G-V)F —- G(V+F)
(6) V(fg) = 1 + v
(7) Ve(fG) = (Vf)-G+/f(V-G)
(8) Vx (fG) = (Vf) x G+f(VxG)
(9) VIK(SG)] = K7G)VFC)
r'(t) T'(t)
lx") 16)
2
ar =v, an = kv
E ar= [[, (2- 37) dx dy
ITG) — Iv xall
Ir'OL = +
T(t) = n(t) = k(t) =
, ? Pends- |] vePardy
OR R
-f F+nds= (| V-FdV
OT T
. $ Fear || (V x F)-n dS
os S
x = psinpeosl
y=psinodsin0 = dx dy dz = p? sin p dp do dO
z = peosp
N(6,0) = a? sin g (sin 9 cosO, sin dsin 0, cos 4), |N(v,0)| = a? sind
1— cos(2t)
1 + cos(2t
os? = 1+00000)