Tentin tekstisisältö

041 MN

5

X TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

 

MAT-20401 Vektorianalyysi
Tentti 25.7.2011

 

 

 

Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite on ohessa.

. a) Olkoon F(z,y,z) = xevi + ye?k. Laske seuraavista ne, jotka voidaan

laskea (eli jotka ovat hyvin määriteltyjä). Jos ei voida laskea, niin perustele
lyhyesti, miksi ei voida.

V-(V-F), V-(VxF) Vx(V-F) Vx(vxF)

b) Laske V-r9r (kun r = zi + yj + 2k jar on vektorin r pituus).

. Olkoon F(z,y) = (y — x,2x — y) ja C kiekonpuolikkaan 0 < y < V25— 2?

reuna suunnistettuna vastapäivään. Laske

[ x:
G

. Olkoon $ kartion 2 = V/a2 + 3? se osa, joka on pintojen 2 = 1 ja 2 = 4

välissä. Laske funktion f(z,y, 2) = x? pintaintegraali yli pinnan S.

. Olkoon F(z,y, z) = 2xi — 2yj + Pk ja

T = ((z,y,2) ERP: 2? +? <4,0<z<h).

Totea Gaussin lauseen (eli divergenssilauseen) paikkansapitävyys tässä ta-
pauksessa laskemalla lauseen molempien puolien integraalit.

 

Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan POPissa periodin 4/2010—2011 toteu-
tuskerran sivulla elokuun puoliväliin mennessä.
o

. sin(2t) = 2sint cost, sin? (=

MAT-20401 Vektorianalyysi, tentin kaavaliite

- (1) Vx vf=0

(2) V*(VxF)=0

(3) V(F-G)=Fx(VxG)+ € x (VxF)+(F-V)G+(G-V)F
(4) V-(F x G)= € ven, «(Vx G)

(5) Vx (FxG)= dy V)G + (G-V)F —- G(V+F)
(6) V(fg) = 1 + v

(7) Ve(fG) = (Vf)-G+/f(V-G)

(8) Vx (fG) = (Vf) x G+f(VxG)

(9) VIK(SG)] = K7G)VFC)
r'(t) T'(t)
lx") 16)

2

ar =v, an = kv

E ar= [[, (2- 37) dx dy

ITG) — Iv xall
Ir'OL = +

 

T(t) = n(t) = k(t) =

, ? Pends- |] vePardy
OR R

-f F+nds= (| V-FdV
OT T

. $ Fear || (V x F)-n dS
os S

x = psinpeosl

y=psinodsin0 = dx dy dz = p? sin p dp do dO
z = peosp

N(6,0) = a? sin g (sin 9 cosO, sin dsin 0, cos 4), |N(v,0)| = a? sind

1— cos(2t)

1 + cos(2t
os? = 1+00000)