Exam text content

MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 19.03.2008

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Laske tai päättele suoraan (parillisuuden tai parittomuuden nojalla) funktion
h(1) =|cos(t) | kompleksisen Fourier-sarjan kaikki kertoimet

i d+T d+T
n==( [MN costnord-5j fa) sintnor)d)
: d d

ja muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-sarja

D .
h(t) = Y opel! .

n=-o0o

Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.

Vihje 2: 2 cos(t) cos(mt) = cos(m-1)t + cos(m+1).

2. Funktiolle (1) =|sin(t) | tunnetaan kompleksinen Fourier-sarja

0

f(0)= Yone) =D = n"

n=-o n=-0o

a) Muodosta tästä funktion f(f) Fourier-sarjan trigonometrinen versio

00
S(0)= 5 + Ya, cos(nof) + b, sin(not))
n=1
missä

* . *
149 = 00, Ap = Cn +Cns Op = Cn Cn) (121)

b) Olisiko funktion f(t) Fourier-sarjasta termeittäin derivoimalla saatava
sarja (jos se muodostettaisiin) derivaatan /'(f) Fourier-sarja? Perustele.

Käännä!
3. Tunnetaan Fourier-muunnos K(jo) = ATsinc(oT/2) kolmiopulssille
(A/TW+A4 (-T<1<o)
k(t)=S(-A/T+A (0<r<T)
0 (muulloin)
a) Johda Fourier-muunnos kolmiopulssille
0 =1t [H(f) —- H(t- 1/2] + (1-7) [H(1- 1/2) — H(t- 1)]
[4 pistettä]

b) Totea a-kohdan vastauksen itseisarvo ja perustele se. [2 pistettä]

Apuna: Jos F1f3 = Fo), niin FIfU-v)) = e *F (jo) ja FI" = FG(0-a)
ja F(FGN3 =27f(0).

4 a) Tehtävän 3 kolmiopulssin K(f) esitys Fourier-integraalina

k(t) = [ on [ kei" dr|do
-0 —0

sievenee, kun sisempi integraali korvataan valmiiksi lasketulla pulssin
Fourier-muunnoksella. Tee tämä sievennys!

b) Edellä saadun integraalin likiarvo
1 %
k(t)=— |... do
Os" J
-0p
sievenee vielä lisää. Tee tämä sievennys mahdollisimman pitkälle!

(Vihje: Parillisuus ja parittomuus ja origokeskinen väli.)
MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 14.01.2008

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Laske tai päättele suoraan (parillisuuden tai parittomuuden nojalla) funktiol-
le h(r) =|sin(r) | trigonometrisen Fourier-sarjan kaikki kertoimet
d+T
an = T f h(t) cos(nwt) dt ja b, =...
d

ja muodosta lopuksi funktion trigonometrinen Fourier-sarja
-
1 ;
ht) = 50 Ya, cos(nwr) + b, sin(nor))
n=1
Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.

Vihje 2: 2 sin(t) cos(m1) = sin(m+1) — sin(m-1)).

Vihje 3: 2 sin(t) sin(mt) = cos(m-1)t — cos(m+1)1.

2,2 Funktio g(f) = cos(f) + sin(t) on samalla oma trigonometrinen
Fourier-sarjansa. Päättele tästä Fourier-sarjan kompleksiversion

o
g) = Yl opein ,
0

n

 

kaikki kertoimet nimenomaan kaavoilla
0 = 340, Cn = jön), €n=3lan+jh) = (121)

(vaikka osaisitkin päätellä ne myös jollain muulla tavalla) ja muodosta lopuksi
funktion kompleksinen Fourier-sarja.

3 a) 'On-off' -pulssin esitys Fourier-integraalina
==

<A CTS1<0 7 |1 jot | o jot a
so-f", (0<1<T) = an" Joe dt|do

—w

 

sievenee, kun sisempi integraali korvataan valmiiksi lasketulla pulssin
Fourier-muunnoksella F(jo) = AT-josin%oT/2). Tee tämä sievennys!

b) Edellä saadun integraalin likiarvo
-
Cp;

[== J... do

=05
sievenee vielä lisää. Tee tämä sievennys mahdollisimman pitkälle!

(Vihje: Parillisuus ja parittomuus ja origokeskinen väli.)

4. Signaalista f(f) otetaan N näytearvoa yhden yksikön aikavälein ja
saadaan arvot

(m) (n=1,2,.... M).
Niistä lasketaan diskreetti Fourier-muunnos (vaikkapa MATLABin komennol-
la fft) ja saadaan N arvoa

N
F(k)= 3) f(meNn-DG-D28/N (k=1,2,.. 0).
n=1

Sitten kaksinkertaistetaan näytearvojen määräksi 2N täydentäen aikai-

sempia arvoja keinotekoisesti arvoilla
f(n)=0 (n=N+1,N+2,..., 2N).

Näistä lasketut diskreetin Fourier-muunnoksen 2N arvoa ovat vastaavasti

 

2N
G(p)= Y) [men NBAmCM (p=1,2,...2M).

n=1

Osoita, että yhtälö G(2k-1) = F(k) toteutuu kaikilla arvoilla k =1, 2, ...,
N tai osoita että ei toteudu ainakin yhdellä arvoista k=1, 2, ..., N.
MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 30.11.2006

 

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Kirjoita papereihin nimesi, numerosi ja koulutusohjelmasi.

1. Funktiolle /(0 =|cos(f) | tunnetaan kompleksinen Fourier-sarja
% aa o 7 (1771 ai
10= Yoeinot= 3 < ePm,
m 16" 4" -1

a) Muodosta tästä kompleksinen Fourier-sarja funktiolle g(x) = |sin(x) |
yhtälön sin(x) = cos(x-1/2) avulla. [4 pistettä]

 

Ohje: Muuttujan vaihto / = x-1/2 funktioon ja sen sarj
muuttavan sarjan pois Fourier-sarjan rakenteesta. a-kohdassa, että näin ei
kuitenkaan käy, sieventämällä tulos mahdollisimman pitkälle ja niin, että sarjan kertoi-
met , ja o näkyvät. Totea ne!

jaan näyttää ensi vilkaisulla

  

 

 

b) Tuotta(isi)vatko a-kohdan sarjan osasummat Gibbsin ilmiön pisteessä
x=1? Perustele. [2 pistettä]

 

2 a) Muodosta tehtäväs:
trigonometrinen versio

 

1 annetusta funktion f(f) Fourier-sarjan

S) =-a9+ Y:(ay cos(nf) + by sin(n08))
z n=1

 

OUI KANNAT NNNMEA +
540300, An =Cn+ Cn dn = Cn n) (121)

b) Olisiko (jos muodostettaisiin) tehtävän 1 funktion /(f) Fourier-sarjasta

termeittäin derivoimalla saatava sarja derivaatan f/'(f) Fourier-sarja?
Perustele.

3. Olkoon funktiolla f(f) Fourier-muunnos määritelmän mukaisena:

w
FS) = F(jo)= [f(Ne'/%* dt, missä e)! =cosot-jsinor.

—0

Johda Fourier-muunnos funtktiolle f(af), kun a> 0.

4. Tasapulssille

101 (r]<7)

0 (muulloin)

tiedetään Fourier-muunnos F'(jo) = 24Tsinc(oT). Johda muunnos

a) tasapulssille H(r) — II(t — 7),

b) ikkunoidulle site x(r) = cos(mo?) [H(f) — H(1— 7).
pos'wille

Apuna: Jos FIf0) = FGjo), niin FJW-0) = OF jo) ja F"f0)

ja FIFGN) =27/(-0).

 

F (0-4)

(Kysymys: Pulssista — cos(oof) otetaan näytteitä tasavälein äärellisellä aikavälillä
(käytännössä), sanokaamme välillä [0, 7), kun viimeinen näyte otetaan hetkellä 7.
Näytteiden diskreetin Fourier-muunnoksen itseisarvot tuottavat kauniin kuvan piiki
neen kulmataajuuden 05 kohdalla. Mutta mitä tuo kuva ja DFT-itseisarvot esittävät,
kun pulssilla cos(ogf) ei ole teoreettista Fourier-muunnosta?

 

 

i-

 

  

Vastaus: Näytteet otettiin todellisuudessa tehtävän 4b signaalista.)