MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 19.03.2008
— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.
1. Laske tai päättele suoraan (parillisuuden tai parittomuuden nojalla) funktion
h(1) =|cos(t) | kompleksisen Fourier-sarjan kaikki kertoimet
i d+T d+T
n==( [MN costnord-5j fa) sintnor)d)
: d d
ja muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-sarja
D .
h(t) = Y opel! .
n=-o0o
Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.
Vihje 2: 2 cos(t) cos(mt) = cos(m-1)t + cos(m+1).
2. Funktiolle (1) =|sin(t) | tunnetaan kompleksinen Fourier-sarja
0
f(0)= Yone) =D = n"
n=-o n=-0o
a) Muodosta tästä funktion f(f) Fourier-sarjan trigonometrinen versio
00
S(0)= 5 + Ya, cos(nof) + b, sin(not))
n=1
missä
* . *
149 = 00, Ap = Cn +Cns Op = Cn Cn) (121)
b) Olisiko funktion f(t) Fourier-sarjasta termeittäin derivoimalla saatava
sarja (jos se muodostettaisiin) derivaatan /'(f) Fourier-sarja? Perustele.
Käännä!
3. Tunnetaan Fourier-muunnos K(jo) = ATsinc(oT/2) kolmiopulssille
(A/TW+A4 (-T<1<o)
k(t)=S(-A/T+A (0<r<T)
0 (muulloin)
a) Johda Fourier-muunnos kolmiopulssille
0 =1t [H(f) —- H(t- 1/2] + (1-7) [H(1- 1/2) — H(t- 1)]
[4 pistettä]
b) Totea a-kohdan vastauksen itseisarvo ja perustele se. [2 pistettä]
Apuna: Jos F1f3 = Fo), niin FIfU-v)) = e *F (jo) ja FI" = FG(0-a)
ja F(FGN3 =27f(0).
4 a) Tehtävän 3 kolmiopulssin K(f) esitys Fourier-integraalina
k(t) = [ on [ kei" dr|do
-0 —0
sievenee, kun sisempi integraali korvataan valmiiksi lasketulla pulssin
Fourier-muunnoksella. Tee tämä sievennys!
b) Edellä saadun integraalin likiarvo
1 %
k(t)=— |... do
Os" J
-0p
sievenee vielä lisää. Tee tämä sievennys mahdollisimman pitkälle!
(Vihje: Parillisuus ja parittomuus ja origokeskinen väli.)
MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 14.01.2008
— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.
1. Laske tai päättele suoraan (parillisuuden tai parittomuuden nojalla) funktiol-
le h(r) =|sin(r) | trigonometrisen Fourier-sarjan kaikki kertoimet
d+T
an = T f h(t) cos(nwt) dt ja b, =...
d
ja muodosta lopuksi funktion trigonometrinen Fourier-sarja
-
1 ;
ht) = 50 Ya, cos(nwr) + b, sin(nor))
n=1
Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.
Vihje 2: 2 sin(t) cos(m1) = sin(m+1) — sin(m-1)).
Vihje 3: 2 sin(t) sin(mt) = cos(m-1)t — cos(m+1)1.
2,2 Funktio g(f) = cos(f) + sin(t) on samalla oma trigonometrinen
Fourier-sarjansa. Päättele tästä Fourier-sarjan kompleksiversion
o
g) = Yl opein ,
0
n
kaikki kertoimet nimenomaan kaavoilla
0 = 340, Cn = jön), €n=3lan+jh) = (121)
(vaikka osaisitkin päätellä ne myös jollain muulla tavalla) ja muodosta lopuksi
funktion kompleksinen Fourier-sarja.
3 a) 'On-off' -pulssin esitys Fourier-integraalina
==
<A CTS1<0 7 |1 jot | o jot a
so-f", (0<1<T) = an" Joe dt|do
—w
sievenee, kun sisempi integraali korvataan valmiiksi lasketulla pulssin
Fourier-muunnoksella F(jo) = AT-josin%oT/2). Tee tämä sievennys!
b) Edellä saadun integraalin likiarvo
-
Cp;
[== J... do
=05
sievenee vielä lisää. Tee tämä sievennys mahdollisimman pitkälle!
(Vihje: Parillisuus ja parittomuus ja origokeskinen väli.)
4. Signaalista f(f) otetaan N näytearvoa yhden yksikön aikavälein ja
saadaan arvot
(m) (n=1,2,.... M).
Niistä lasketaan diskreetti Fourier-muunnos (vaikkapa MATLABin komennol-
la fft) ja saadaan N arvoa
N
F(k)= 3) f(meNn-DG-D28/N (k=1,2,.. 0).
n=1
Sitten kaksinkertaistetaan näytearvojen määräksi 2N täydentäen aikai-
sempia arvoja keinotekoisesti arvoilla
f(n)=0 (n=N+1,N+2,..., 2N).
Näistä lasketut diskreetin Fourier-muunnoksen 2N arvoa ovat vastaavasti
2N
G(p)= Y) [men NBAmCM (p=1,2,...2M).
n=1
Osoita, että yhtälö G(2k-1) = F(k) toteutuu kaikilla arvoilla k =1, 2, ...,
N tai osoita että ei toteudu ainakin yhdellä arvoista k=1, 2, ..., N.
MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti 30.11.2006
— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Kirjoita papereihin nimesi, numerosi ja koulutusohjelmasi.
1. Funktiolle /(0 =|cos(f) | tunnetaan kompleksinen Fourier-sarja
% aa o 7 (1771 ai
10= Yoeinot= 3 < ePm,
m 16" 4" -1
a) Muodosta tästä kompleksinen Fourier-sarja funktiolle g(x) = |sin(x) |
yhtälön sin(x) = cos(x-1/2) avulla. [4 pistettä]
Ohje: Muuttujan vaihto / = x-1/2 funktioon ja sen sarj
muuttavan sarjan pois Fourier-sarjan rakenteesta. a-kohdassa, että näin ei
kuitenkaan käy, sieventämällä tulos mahdollisimman pitkälle ja niin, että sarjan kertoi-
met , ja o näkyvät. Totea ne!
jaan näyttää ensi vilkaisulla
b) Tuotta(isi)vatko a-kohdan sarjan osasummat Gibbsin ilmiön pisteessä
x=1? Perustele. [2 pistettä]
2 a) Muodosta tehtäväs:
trigonometrinen versio
1 annetusta funktion f(f) Fourier-sarjan
S) =-a9+ Y:(ay cos(nf) + by sin(n08))
z n=1
OUI KANNAT NNNMEA +
540300, An =Cn+ Cn dn = Cn n) (121)
b) Olisiko (jos muodostettaisiin) tehtävän 1 funktion /(f) Fourier-sarjasta
termeittäin derivoimalla saatava sarja derivaatan f/'(f) Fourier-sarja?
Perustele.
3. Olkoon funktiolla f(f) Fourier-muunnos määritelmän mukaisena:
w
FS) = F(jo)= [f(Ne'/%* dt, missä e)! =cosot-jsinor.
—0
Johda Fourier-muunnos funtktiolle f(af), kun a> 0.
4. Tasapulssille
101 (r]<7)
0 (muulloin)
tiedetään Fourier-muunnos F'(jo) = 24Tsinc(oT). Johda muunnos
a) tasapulssille H(r) — II(t — 7),
b) ikkunoidulle site x(r) = cos(mo?) [H(f) — H(1— 7).
pos'wille
Apuna: Jos FIf0) = FGjo), niin FJW-0) = OF jo) ja F"f0)
ja FIFGN) =27/(-0).
F (0-4)
(Kysymys: Pulssista — cos(oof) otetaan näytteitä tasavälein äärellisellä aikavälillä
(käytännössä), sanokaamme välillä [0, 7), kun viimeinen näyte otetaan hetkellä 7.
Näytteiden diskreetin Fourier-muunnoksen itseisarvot tuottavat kauniin kuvan piiki
neen kulmataajuuden 05 kohdalla. Mutta mitä tuo kuva ja DFT-itseisarvot esittävät,
kun pulssilla cos(ogf) ei ole teoreettista Fourier-muunnosta?
i-
Vastaus: Näytteet otettiin todellisuudessa tehtävän 4b signaalista.)