Exam text content

MAT-20451 Fourier'n menetelmät Tentti 23.4.2012

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Olkoon T-jaksoisella funktiolla /(r) Fourier-sarja
1 00
f()= 30+ Y (a, cosnot + b, sinnor),
n=1
missä 0=27/T ja missä kertoimet ovat toistaiseksi tuntemattomia. Laske

seuraavasti: integroi ensin yhtälö

f(t) sin(3or) = 50 sin(30f) +

00
+ » (a, cos(nort) sin(30r) + b,, sin(not) sin(30?))
n=1
B/2
puolittain [...dt ja yhtälön oikea puoli yhteenlaskettava kerrallaan.
-T /2

Laske oikean puolen integraalien summa päättelemällä arvo jokaiselle sen
integraalille apuna integroitavan parittomuus ja alla oleva Vihje 2.

(Yhdelle sarjan kertoimista tuisi näin laskukaava.)

2. Laske funktion Fourier-sarjan kompleksiversiolle kaikki kertoimet

 

19 = 1 d+T d+T
en == i T ieje-inor dt=—( [f(t)cos(not)dt-j [f(t)sin(not) df)
T a T a ad
kun —f() = sin(r). Muodosta näistä lopuksi funktion kompleksinen

Fourier-sarja

[= Yee.

n=-o0

Vihje 1: Integroitava parillinen tai pariton ja integrointiväli origokeskinen.
Vihje 2: 2 sin(a) sin(b) = cos(a-b) — cos(a+b).

Käännä!
 

3. Tunnetaan Fourier-muunnos F(jo)=24Tsinc(oT) tasapulssille

10-14 UlED = AHG+n-H0-7)

0 (muulloin)

Päättele Fourier-muunnos
a) tasapulssille g(f) = H(t+6)- H(),
b) ikkunoidulle sinille x(f) = sin(5t) [H(t + 6) — H(9)).

Ominaisuuksia: Jos F(f(N) = F (jo), niin F(f((-1)) = e?*F Go) ja FIdTf) =
F((m-a)) ja FIFGN) =2a(-0).

Tiedetään lisäksi, että H =cosx+jsinx,

joten — e =cosx-jsinx ja e&*+eP=2cosx ja e*-e=2jsinx.

4. Johda symmetriaominaisuuden avulla Fourier-muunnos
a) ensin funktiolle y(f) = sine(407),
b) sitten funktiolle z(f) = sinc(401 — 800).

c) Sievennä b-kohdassa saadun muunnoksen itseisarvo eli amplitudi
mahdollisimman yksinkertaiseksi.