Exam text content

MAT-33350 Vektorikentät Tentti 18.5.2006

Huom! Mukana ei saa olla kirjallisuutta, tietokoneita eikä taulukoita. Laskuvälineet ovat sal-
littuja.
1. Millä vakion c arvoilla uraehto
mty kaoy=c

ei määritä R?:n 1-ulotteista monistoa? (Perustelut mukaan!)

 

2. Parametrisoitu pinta

S:r= y(u) = (v, cosu,, v sin u2, au; + duo)
(0 <u, <2,0<u,<4r)

on ns. helikoidi eli ruuvipinta. Tässä a ja b ovat vakioi-
ta ja b + 0. (Oheinen kuva: Maple.) a) Totea, että S on
R3:n parametrisoitu 2-ulotteinen monisto ja b) etsi sen
tangenttiavaruus ja normaaliavaruus pisteessä (1,37)
(anna jotkin kantavektorit).

 

3. Jos & on R":n k-muotokenttä ja £ : R” — R" on jatkuvasti derivoituva funktio, niin
R:n k-muotokenttä

(£*&)(pir1,---,rx) = &(f(p);£'(P)r1,---,(P)rx)

on ns. &:n pullback-muotokenttä funktion f suhteen. (Merkintä £*& on perinteinen. Huo-
maa, että f(p)r;:t ovat n-ulotteisia vektoreita kuten pitääkin.)

a) Mikä on R?:n vektorikentän F työmuotokentän Pp work pullback-muotokenttä funk-
tion £ : R > R3 suhteen?
b) Etsi pullback-muotokenttä f*$, missä 6 = ydz A dz on R?:n 2-muotokenttä ja

f : R? — R3 on funktio f(u, v) = (u?, 2uv, v).

(Pullbackit liittyvät mm. muotokenttien integraaleihin parametrisoiduissa monistoissa—kuten eh-
kä huomaatkin—ja myöskin muuttujien vaihtoihin. Ne käyttäytyvät hyvin mukavasti, mm. kaavat
f*(BAT)=f*"BAF'V ja (f*&) = f*d& pätevät.)

4. Lähtien R:n vuomuotokentästä Opa guy, missä F on vektorikenttä jaa on vakiovektori,
johda Yleistetyn Stokesin lauseen seurauksena vektoraalinen GauBin lauseen variantti

f7xzmar=-f rm x dS.
z =

OK

(Vihje: Samaan tapaan kuin Vektoraalisen GauBin lauseen johto.)

5. Selosta lyhyesti mitä ovat a) skalaaripotentiaali, b) vektoripotentiaali, €) nelipotentiaali
ja d) Helmholtzin hajotelma.

 

Kaavoja —>—>—>
Kaavoja:

Skalaarikolmitulon kiertosääntö:

aebxc=becxa=ceaxb

Vektorikolmitulon kehityskaavat:

(ax b)xc=(aec)b—-(bec)a
ax (bx c)=(aec)b—-(aeb)c

Sylinterikoordinaatistomuunnos:

r = h(r, &, 2) = (reosd,rsin 6,2), det(W'(r,d,2))=r

Pallokoordinaatistomuunnos:

r = h(p, 6,4) = (psin 0 cos g, psin Osin 4, peos 0), det(h'(p,0,6)) = p sind

Tulon derivointisäännöt:

V(f9) = 9Vf+fVg
Ve(fG)=VfeG+fVeG
Vx (fG)=VfxG+fVxG
Voe(FxG)=VxFeG-FeVxG
Vx (F x G)=(GeV)F-(VeF)C+(V e G)F-— (F e VG
V(F + G)=F"G+G'F
= (G e VF + (Fe VJG+F x (Vx G)+Gx(VxF)

 

k + 1-muotokentän & potentiaali tähtimäisessä kappaleessa pisteen po suhteen:

1
(I) (p;r1,..., 7) = [ va + HP — Po); P— Po, F1, --.,1k) dt.
0