MAT-33350 Vektorikentät Tentti 18.5.2006
Huom! Mukana ei saa olla kirjallisuutta, tietokoneita eikä taulukoita. Laskuvälineet ovat sal-
littuja.
1. Millä vakion c arvoilla uraehto
mty kaoy=c
ei määritä R?:n 1-ulotteista monistoa? (Perustelut mukaan!)
2. Parametrisoitu pinta
S:r= y(u) = (v, cosu,, v sin u2, au; + duo)
(0 <u, <2,0<u,<4r)
on ns. helikoidi eli ruuvipinta. Tässä a ja b ovat vakioi-
ta ja b + 0. (Oheinen kuva: Maple.) a) Totea, että S on
R3:n parametrisoitu 2-ulotteinen monisto ja b) etsi sen
tangenttiavaruus ja normaaliavaruus pisteessä (1,37)
(anna jotkin kantavektorit).
3. Jos & on R":n k-muotokenttä ja £ : R” — R" on jatkuvasti derivoituva funktio, niin
R:n k-muotokenttä
(£*&)(pir1,---,rx) = &(f(p);£'(P)r1,---,(P)rx)
on ns. &:n pullback-muotokenttä funktion f suhteen. (Merkintä £*& on perinteinen. Huo-
maa, että f(p)r;:t ovat n-ulotteisia vektoreita kuten pitääkin.)
a) Mikä on R?:n vektorikentän F työmuotokentän Pp work pullback-muotokenttä funk-
tion £ : R > R3 suhteen?
b) Etsi pullback-muotokenttä f*$, missä 6 = ydz A dz on R?:n 2-muotokenttä ja
f : R? — R3 on funktio f(u, v) = (u?, 2uv, v).
(Pullbackit liittyvät mm. muotokenttien integraaleihin parametrisoiduissa monistoissa—kuten eh-
kä huomaatkin—ja myöskin muuttujien vaihtoihin. Ne käyttäytyvät hyvin mukavasti, mm. kaavat
f*(BAT)=f*"BAF'V ja (f*&) = f*d& pätevät.)
4. Lähtien R:n vuomuotokentästä Opa guy, missä F on vektorikenttä jaa on vakiovektori,
johda Yleistetyn Stokesin lauseen seurauksena vektoraalinen GauBin lauseen variantti
f7xzmar=-f rm x dS.
z =
OK
(Vihje: Samaan tapaan kuin Vektoraalisen GauBin lauseen johto.)
5. Selosta lyhyesti mitä ovat a) skalaaripotentiaali, b) vektoripotentiaali, €) nelipotentiaali
ja d) Helmholtzin hajotelma.
Kaavoja —>—>—>
Kaavoja:
Skalaarikolmitulon kiertosääntö:
aebxc=becxa=ceaxb
Vektorikolmitulon kehityskaavat:
(ax b)xc=(aec)b—-(bec)a
ax (bx c)=(aec)b—-(aeb)c
Sylinterikoordinaatistomuunnos:
r = h(r, &, 2) = (reosd,rsin 6,2), det(W'(r,d,2))=r
Pallokoordinaatistomuunnos:
r = h(p, 6,4) = (psin 0 cos g, psin Osin 4, peos 0), det(h'(p,0,6)) = p sind
Tulon derivointisäännöt:
V(f9) = 9Vf+fVg
Ve(fG)=VfeG+fVeG
Vx (fG)=VfxG+fVxG
Voe(FxG)=VxFeG-FeVxG
Vx (F x G)=(GeV)F-(VeF)C+(V e G)F-— (F e VG
V(F + G)=F"G+G'F
= (G e VF + (Fe VJG+F x (Vx G)+Gx(VxF)
k + 1-muotokentän & potentiaali tähtimäisessä kappaleessa pisteen po suhteen:
1
(I) (p;r1,..., 7) = [ va + HP — Po); P— Po, F1, --.,1k) dt.
0