Exam text content

 

 

MAT-41150 Algebra I (s).
28.5.2010. Esko Turunen

Jos olet korvaamassa välikoetta 1, tee tehtävät 1 - 5. Jos olet kor-
vaamassa välikoetta 2, tee tehtävät 6 - 10. Jos olet tenttimässä koko
kurssia, tee parittomat tehtävät.

Tehtävä 1

Määritellään reaalilukujen joukkoon R laskutoimitus O asettamalla
a&Ob=a+b—-a-b. Osoita, että (R, D) on monoidi, mutta ei ole
ryhmä. Perustele vastauksesi.

Tehtävä 2

Luonnollisten lukujen N Peano aksioomien avulla relaatio m < n
”m EN on korkeintaan yhtä suuri kuin n € N? määritellään yhteen-
laskun kautta seuraavasti

m < n joss on olemassa sellainen p € N, jolle n = m + p.

Todista: Kaikilla k,m,n € N pätee: (i) n < n (refleksiivisyys), (ii)
jos m < njan < m, niin m =n (antisymmetrisyys), (iii) jos k < m
jam <n, niin k < n (transitiivisuus).

 

Tehtävä 3
Olkoot G ja G” ryhmiä ja h : G > G homomorfismi. Todista, että
h(e) on G":n neutraalialkio, kun e on G:n neutraalialkio.
Tehtävä 4
Osoita, että aliryhmien leikkaus on aliryhmä eli jos G on ryhmä ja
H; <G,ierT, niin (),ep Hi < G. Perustele vastauksesi.
Tehtävä 5
Ryhmän G keskus on G:n osajoukko
Z = (2 € G;zg = gz aina, kun g € G)

varustettuna indusoidulla laskutoimituksella. Todista, että Z on G:n
kommutatiivinen normaali aliryhmä.
 

 

Tehtävä 6

Onko Zg varustettuna Z:sta indusoiduilla laskuoperaatioilla (a) kom-
mutatiivinen rengas (b) kunta? Perustele vastauksesi.

Tehtävä 7

Esitä (a) Aritmetiikan (b) Algebran peruslause.

Tehtävä 8

Etsi s.y.t(120,315) Eukleideen algoritmilla ja tämän perustella Be-
7zout'in kertoimet z,y, ts. s.y.t. (120,315) = 120x + 315y

Tehtävä 9

Olkoon p : R — S rengashomomorfismi. Todista, että kerp on R:n
kaksipuolinen ideaali.

Tehtävä 10
Onko polynomi O(X) = 1—4X polynomirenkaan Ze4[X] yksikkö?

EI LASKIMIA EIKÄ KIRJALLISUUTTA!
 

MAT-41150 Algebra I (s). Välikoe 2.
25.5.2010 salissa K1704. Esko Turunen

Tehtävä 1

Kirjoita renkaan Z;o yhteen- ja kertolaskutaulut ja määrää näiden
perusteella nollan jakajat, yksiköt ja aidot alirenkaat. Onko Zio
kokonaisalue tai kunta? Perustele kantasi.

Tehtävä 2

Esitä ja todista Aritmetiikan peruslause.

Tehtävä 3

Etsi s.y.t (180,42) Eukleideen algoritmilla ja tämän perustella Be-
zout'in kertoimet r, y, ts. s.y.t. (180,42) = x180 + y42

Tehtävä 4

Olkoon j : R > S rengashomomorfismi. Todista, että kerp on R:n
kaksipuolinen ideaali.

Tehtävä 5

Onko polynomi O(X) = 1 — 3X polynomirenkaan Z27[X] yksikkö?

EI LASKIMIA EIKÄ KIRJALLISUUTTA!