MAT-41150 Algebra I (s).
28.5.2010. Esko Turunen
Jos olet korvaamassa välikoetta 1, tee tehtävät 1 - 5. Jos olet kor-
vaamassa välikoetta 2, tee tehtävät 6 - 10. Jos olet tenttimässä koko
kurssia, tee parittomat tehtävät.
Tehtävä 1
Määritellään reaalilukujen joukkoon R laskutoimitus O asettamalla
a&Ob=a+b—-a-b. Osoita, että (R, D) on monoidi, mutta ei ole
ryhmä. Perustele vastauksesi.
Tehtävä 2
Luonnollisten lukujen N Peano aksioomien avulla relaatio m < n
”m EN on korkeintaan yhtä suuri kuin n € N? määritellään yhteen-
laskun kautta seuraavasti
m < n joss on olemassa sellainen p € N, jolle n = m + p.
Todista: Kaikilla k,m,n € N pätee: (i) n < n (refleksiivisyys), (ii)
jos m < njan < m, niin m =n (antisymmetrisyys), (iii) jos k < m
jam <n, niin k < n (transitiivisuus).
Tehtävä 3
Olkoot G ja G” ryhmiä ja h : G > G homomorfismi. Todista, että
h(e) on G":n neutraalialkio, kun e on G:n neutraalialkio.
Tehtävä 4
Osoita, että aliryhmien leikkaus on aliryhmä eli jos G on ryhmä ja
H; <G,ierT, niin (),ep Hi < G. Perustele vastauksesi.
Tehtävä 5
Ryhmän G keskus on G:n osajoukko
Z = (2 € G;zg = gz aina, kun g € G)
varustettuna indusoidulla laskutoimituksella. Todista, että Z on G:n
kommutatiivinen normaali aliryhmä.
Tehtävä 6
Onko Zg varustettuna Z:sta indusoiduilla laskuoperaatioilla (a) kom-
mutatiivinen rengas (b) kunta? Perustele vastauksesi.
Tehtävä 7
Esitä (a) Aritmetiikan (b) Algebran peruslause.
Tehtävä 8
Etsi s.y.t(120,315) Eukleideen algoritmilla ja tämän perustella Be-
7zout'in kertoimet z,y, ts. s.y.t. (120,315) = 120x + 315y
Tehtävä 9
Olkoon p : R — S rengashomomorfismi. Todista, että kerp on R:n
kaksipuolinen ideaali.
Tehtävä 10
Onko polynomi O(X) = 1—4X polynomirenkaan Ze4[X] yksikkö?
EI LASKIMIA EIKÄ KIRJALLISUUTTA!
MAT-41150 Algebra I (s). Välikoe 2.
25.5.2010 salissa K1704. Esko Turunen
Tehtävä 1
Kirjoita renkaan Z;o yhteen- ja kertolaskutaulut ja määrää näiden
perusteella nollan jakajat, yksiköt ja aidot alirenkaat. Onko Zio
kokonaisalue tai kunta? Perustele kantasi.
Tehtävä 2
Esitä ja todista Aritmetiikan peruslause.
Tehtävä 3
Etsi s.y.t (180,42) Eukleideen algoritmilla ja tämän perustella Be-
zout'in kertoimet r, y, ts. s.y.t. (180,42) = x180 + y42
Tehtävä 4
Olkoon j : R > S rengashomomorfismi. Todista, että kerp on R:n
kaksipuolinen ideaali.
Tehtävä 5
Onko polynomi O(X) = 1 — 3X polynomirenkaan Z27[X] yksikkö?
EI LASKIMIA EIKÄ KIRJALLISUUTTA!