Exam text content

MAT-60000 Matriisilaskenta (syksy 2019) / Mattila
Tentti 14.10.2019

Kokeessa ei saa käyttää laskimia tai taulukoita. Tehtäväpaperia ei tarvitse palauttaa. Tent-
titehtävien ratkaisut löytyvät aikanaan kurssin Moodle-alueelta.

1.

(a) Osoita, että jos joukko (x1,22, 3] on vektoriavaruuden C” ortonormaali osajouk-
ko, niin vektorit 221 +ix>— z3 ja ix] 432 —5ix3 ovat keskenään ortogonaaliset.
Millä skalaareilla nämä kaksi vektoria tulisi kertoa, jotta saadut vektorit muodos-
taisivat ortonormaalin joukon? (3p)

(b) Matriisin A = [a;;] € C"*" jälki tr(A) = Yi, Gi = an + an +++: + ann- Osoita
oikeaksi tai vääräksi: jos A, B € C”, niin tr(AB) = tr(4)tr(B). (3p)

(a) Etsi LU-hajotelma matriisille

4 6 5 8
8 -11 -12 -16
4=|j2 2 10 23/ (P)

-4 -4 -9 8
Ohje: tarvitset kaksi iteraatiota eikä rivien permutoinnille ole tarvetta.
(b) Päättele hajotelman perusteella, mitä ovat det(A) ja rank(A). Päättele sitten di-

mensiolauseen avulla, mitä on dim(N/(4)). (2p)

(a) Olkoon k aidosti ykköstä suurempi reaaliluku. Määritä projektorimatriisi P, joka

projisoi aliavaruudelle S; = span | [| ) pitkin aliavaruutta $> = span | [ ).

1
Ohje: jos (21,%2,...,Bn) ja (%n41, Bn, <, Bm) 0vat aliavaruuksien S, ja S2
kannat, niin P = Yy, ziyj, missä X = EX en On Onki sai Dm] ja Y =
[yi --- Ym] =(X)".
(b) Joku väittää, että avaruuden C3 luonnollisista kantavektoreista muodostettu jouk-
ko fe1,e>, ea) on samalla Jordanin ketju, joka vastaa matriisin

Mikä on vektorin [i] kuva tässä projektiossa? (3p)

ainoaa ominaisarvoa. Tutki, pitääkö tämä väite paikkansa. (3p)

. Oletetaan, että eräälle matriisille A on saatu singulaariarvohajotelma

1 1 1 1 1 1 17*
MRSA A
a |5 5 3 —5]|]0 20 of [15 0 6
=1$ i 2 Yll0 o ollt o 2 +
ja a i 35 a 7
2 % % 2 00 0 015 *% 0 2

Päättele hajotelman avulla (a) mikä on matriisin A kolmas diagonaalialkio 433, (b)
mitkä ovat matriisin A singulaariarvot, (c) mikä on aliavaruuden M/(A) kanta, (d) mikä
on aliavaruuden R(A) kanta, (e) mitä ovat rank(A) ja aliavaruuden /(A) dimensio,
(f) mikä on matriisin A determinantti ja onko matriisi A! olemassa. (1p/kohta)

1/2
MAT-60000 Matrix Algebra (autumn 2019) / Mattila
Final Exam 14.10.2019

Neither calculators nor own materials are allowed in the exam. You do not have to return
this guestion paper.

1.

[N]

(2)

(b)

(b)

Show that if the set (71,2, 73) is an orthonormal subset of the vector space (E
then the vectors 2] + im» — as and —iz1 +320 — 5ix3 are orthogonal. By what
scalars should we multiply these two vectors so that together they would form an
orthonormal set? (3p)

For a given matrix A = [a;;] € C"*" the trace tr(A) = Yj, ai = an +0n+:--+
Gnn- Prove right or wrong: if A, B € C”, then tr(AB) = tr(A)tr(B). (3p)

Find the LU decomposition for the matrix

4 6 5 8
8-1 -2 16
A= 112 2 10 23/; (

-A4 4 -—9 —8
Hint: you will need two interations and there is no need for any row permutations.
Determine the values of det(A) and rank(A) from the decomposition. Then apply
the Rank-Nullity theorem and determine the value of dim(N/(A)). (2p)

Let k be a real number strictly greater than one. Find the projector matrix P that

projects to the subspace S; = span | [] ) along the subspace S) = span [ [| )-

What is the image of the vector i in this projection? (3p)

Hint: if (21,%2,...,%0) and (Bnji,%nya,... Wm) are bases for the subspaces S1
and 52, then P= Yj, myi, where X = [x sn Baji e. Dr] and Y =
[i < m] = (XD*.

Somebody claims that the set fe, e, es) formed by the natural basis vectors of
the space C9 is in fact a Jordan chain that corresponds to the only eigenvalue of

the matrix
-1 1 1

Find out: whether this is true or not. (3p)

4. Suppose that the singular value decomposition of a certain matrix A is

1443-40 00 5 0 5
5 5 5 —5/|/0 2 0 015 0 —$ 5
A=lii Po 1 i m i
2 2 2 2 00 v2 0 5 o % 2
4 1 142 i 0 0 0 0 1 1 0 g
2 2 7 52 5 % 5

Use this decomposition and find out (a) the third diagonal element of A (i.e. the element
433), (b) the singular values of A, (c) a basis for the subspace N/(A), (d) a basis for
the subspace R(A), (e) rank(A4) and the dimension of the subspace (A), (f) the
determinant of A and the existance of A"*. (1 point from each part)

2/2