Exam text content

MAT-60000 Matriisilaskenta (syksy 2019) / Mattila
Tentti 26.11.2019

Kokeessa ei saa käyttää laskimia tai taulukoita. Tehtäväpaperia ei tarvitse palauttaa. Tent-
titehtävien ratkaisut löytyvät aikanaan kurssin Moodle-alueelta.

1. (a) Kahden kompleksisen vektorin w ja v välinen kulma <(u,v) voidaan määritellä

R
kaavalla cos(<(u, v)) = Husu al missä Re((u, v)) on siis kompleksiluvun (v, v)

llaliilli
: PI 1+5%| . i
reaaliosa. Laske mitä on cos(<(u, v)), kun u = 1-5] Jav=13|- (3p)

(b) Oletetaan, että vektorit y ja 2 ovat molemmat ei-homogeenisen yhtälöryhmän
Ax = b ratkaisuja, missä A € CM", ny, z € C? ja b % 0. Osoita, että rat-
kaisuvektoreiden lineaarikombinaatio ay + bz (a,b € C) on myös yhtälöryhmän
Ax = b ratkaisu, jos ja vain jos kertoimet a ja b toteuttavat yhtälön a + b = 1.
Onko yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen joukko avaruuden C” aliavaruus? (3p)

2. (a) Tarkastellaan matriisia

PES
w O o
o 00

B=
" 4

a
1
3
4 4 4

missä a ja b ovat reaalisia vakioita. Mitä ehtoja näiden vakioiden tulee toteuttaa,
jotta matriisilla B olisi olemassa LU-hajotelma ilman, että sen rivejä tarvitsee
permutoida (itse hajotelmaa ei tarvitse laskea). (3p)

(b) Olkoon

 

1 0 1 1
0 1 0 1 - = [0
C= 101 sekä e=1| 1
0 —1 0 — 0

Tutki, kuuluuko vektori x joukkoon N/(C) ja/tai joukkoon R(C). (3p)

3. (a) Olkoon x € C" vektori, jolle on voimassa ||x|| = 1, ja olkoon P = aa". Osoita
P ortogonaaliprojektorimatriisiksi toteamalla, että P? = P ja että P* = P. Etsi
kanta aliavaruudelle, jolle matriisi P projisoi. (3p)

Vihje: ortogonaaliprojektorimatriisi P avaruudelle span(x1,...,%%) saadaan kaa-
valla P= X(X*X)! X*, missä X = [21 ... x].
(b) Eräälle matriisille K on saatu laskettua seuraavanlainen Jordanin hajotelma:
9 —3 0 +135 5] [910 0 0 1
K=|11 10 11=10 5 ;5l//091]|]—-1 2 —+1
-1 2 8 1 0 0/00 9 3 3 3

Päättele hajotelman perusteella matriisin K ominaisarvot, niiden algebralliset ja
geometriset kertaluvut sekä ominaisarvoja vastaavat lineaarisesti riippumattomat
ominaisvektorit. Onko matriisi K diagonalisoituva ja/tai kääntyvä? (3p)

0 1
4. Etsi singulaariarvohajotelma matriisille L= |1 11. (6p)
1 0
Vihje: matriisin U 3. sarakkeeksi käy normeerattu matriisin LL* ominaisarvoa 0 vas-
taava ominaisvektori, mutta sen löytämiseksi on helpompia ja nopeampiakin tapoja.

1/2
MAT-60000 Matrix Algebra (autumn 2019) / Mattila
Final Exam 26.11.2019

Neither calculators nor own materials are allowed in the exam. You do not have to return
this guestion paper.

1.

(a) The angle <(u,v) between ompi vectors u and v is defined from the formu-
Re((u, v)

ellet"

number (u, v). Calculate cos(<(u, v)) in the case when u = [i +] and v = []

la cos(<(u, v)) = , where Re((u,v)) is the real part of the complex

(b) Suppose that the vectors y and 2 are both solutions to the non-homogenous system
of linear eguations At = b, where A € CM*", x,y, 2 € C” and b + 0. Show that
the linear combination ay + bz (a,b € C) is yet another solution to the system
Axz =bif and only if the coefficients a and b satisfy the eguation a + b = 1. Does
the set of solutions of the system Ax = b form a subspace of the vector space C”?

(a) Let us consider the matrix

B=

wo N
w- a
wo o
o 00

4 4 4 4
where a and b are real constants. What conditions do the have to satisfy so that

there exists an LU decomposition for the matrix B and no row permutations are
needed (you do not have to calculate the decomposition itself).

(b) Let

101 1 1
0 1 0 1 0
C= 101 + and e=1j
0 —1 0 -1 [0

Find out if the vector x belongs to the set N(C) and/or to the set R(C).

(a) Let x € C” be a vector that satisfies ||x|] = 1, and let P = xx*. Show that P is
an orthogonal projector matrix by verifying that P? = P and that P* = P. Find
a basis for the subspace on which the matrix P projects.

Hint: the orthogonal projector matriz P that projects on the subspace span(z1,...,%;)

is obtained from the formula P = X(X*X)**X*, where X = [a1 ... 4].
(b) Suppose that K is the matrix that has the following Jordan decomposition:

9 —3 0 —1 3 3] [9 1 0] [0 o 1
K=|1 10 1[=|0 % 09 1/|-1 2 1

-1 2 8 1 0 0]|009/|/3 3 3
By using the decomposition, find out the eigenvalues of the matrix K, their al-

gebraic and geometric multiplicities and linearly independent eigenvectors that
correspond each eigenvalue. Is the matrix K diagonalizable and/or invertible?

olot

01

. Find a singular value decomposition for the matrix L= |1 1

1 0

Hint: the 3rd column of the matritx U can be chosen to be a normalized eigenvector

of the matrix LL* that corresponds to the eigenvalue 0, unless you are able to find a

shorter and easier way to determine it.

2/2