Exam text content

 

 

 

 

d Usean muuttujan funktiot
Tentti 23.11.2021 / Merja Laaksonen

 

 

 

 

- Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
- Muista, että jokaisessa tehtävässä pisteet tulevat perusteluista eikä arvauksista.

1.

Lämpötila
T (x, y,z) = 2 + 25 + sin(x + y?).

 

Ötökkä lentää pitkin rataa g(1) = (—1?,1,1?+1),0 <1 < s. Kun lämpötila on 35, se pökertyy
kuumuudesta. Hetkellä t = VI se on pisteessä A.

a) Mikäon se ajanhetki s, jolloin matka katkeaa pökertymiseen.
b) Mikä on pisteessä A suunnatun derivaatan T/ arvo menosuuntaan g'(v/2)?

c) Mikä on pisteessä A suunta, johon lämpötila vähenee eniten?

a) Jos derivaatat ovat olemassa ja f(x,b) = g(x), niin f;(a,b) = g'(a). Laske h, (1,0), kun
h(x, y) = x (a? + y?) Vesntern),
b) Ohessa on taulukko funktioiden f g, f; ja f, arvoista kahdessa eri pisteessä

| Sel fAlf]
[0.0] 3]3]4]8 |
[(1.2]6]3]2]5]

 

 

 

 

 

 

 

 

Oletetaan, että f : f(x, y) on differentioituva ja g(s,t) = f(2s—1,1? — 45). Laske annettujen
tietojen perusteella arvo osittaisderivaatalle g; (1, 2).

4 4

Etsi funktion f : f(x,y) = %+%-xy+/1 kriittiset pisteet ja tutki onko kyseessä lokaalinen
maksimi, minimi vai satulapiste.

a) Vaihda integroimisjärjestys ja laske arvo tasointegraalille

2 01 N
/ / ye" dx dy.
0 Jy/a

b) Muunna sylinterikoordinaatistoon integraali

2 60 ” , N
dz dy dx.
I [ o], (+) tran