Tentin tekstisisältö

 

MAT-01220 Insinöörimatematiikka B2
Tentti 7.12.2015 / Kimmo Vattulainen

e Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille.
e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
e Kääntöpuolella kaavakokoelma

 

1. Olkoon avaruuden R3 pisteet A= (2,0, 1), B=(1, 1,0), C= (1,2, 1), D=(L1, 2
Mikä pisteiden A, B, G määräämän tason piste on lähinnä pistettä D.

2. 3 x 5-matriisin A sarakkeina ovat vektorit a, b, c, d ja e, joten A=[abcde i
Lisäksi tiedetään, että

14 60 2 0
6 350 0 0
AA || 0 06 0 &
= 00 2 0
00 02

Vastaa perustellen seuraaviin kysymyksiin. Mieti, mitä matriisin ATA alkiot ovat ja miten saat
vastaukset kysymyksiin.

a) Mikä on vektorin a — b + 2d pituus? Anna tarkka lukuarvo.

b) Onko -matriisilla ATA käänteismatriisia? Entä jos muodostetaan neliömatriisi B = [abe],
niin onko matriisilla B käänteismatriisia. Perustele vastauksesi.
Vihje: rank(A) = rank(AA), determinantin laskusäännöt.

c) Muodosta yksi avaruuden 3 ortonormaali kanta. Anna vastaus joukkona, jonka alkiot ovat va-
litaan vektoreista a, b, c, d, e tarvittaessa skalaarilla kerrottuna.

3. Tehtävän 1 pisteet A = (2,01), B = (110), C= (120)P- (1,1,1) eivät olleet sa-
malla tasolla. Määritä taso 2 = ax + by+c, joka pienimmän neliösumman mielessä sopii parhaiten
tähän pistejoukkoon. Vihje: Käytä ratkaisun jossain vaiheessa tulosta

45] 10 =
asti < 2 i 4
5 44 = 4 3

4. a) Määritä matriisin A ominaisarvot ja ominaisavaruudet.
b) Määritä diagonalisoimalla, mitä matriisia. A" lähestyy, kun n — -

31
A- |! 2
li 5)

 
 

10.

IL

12.

lvi vv

U: v

0) = Talvi

ei € €3
UXV= 141 U U
vi v v

-V

proju(v) = (—) u

u-u
n:(x-p)=0

x=P+su+itv

(AB) = BTAT, (AB) 1 = BA", (AT) = (AT

a
a b = 1
a d — ad— be

n

 

MAT-01220 Insinöörimatematiikka B2, kaavoja

|

det (A) = Y(-DHa det(A;;)

JAN

Ax = Ax, det(A4—A1)=0

S"AS=D&A=95SDs"!

Ax Ab